Oi gente, O 1 sai usando a útil identidade (que também vale para matrizes quadradas) A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I) (para números complexos, troque I por 1).
Por definição, uma matriz A é nilpotente quando A^m = 0 para algum m inteiro positivo. Observe que nem toda matriz nilpotente é nula; por exemplo, as matrizes A quadradas de ordem n que possuem todas as entradas nulas exceto uma que não esteja na diagonal principal satisfaz A^2 = 0. Neste caso, a matriz precisa ser n por n; o produto AB (nesta ordem) de duas matrizes A m por n e B p por q só é definido quando n = p. Então A^2, que é A vezes A, só está definido para A m por n quando n = m, ou seja, quando A é quadrada. OK, usando a identidade acima o problema de provar que A - I é inversÃvel e mesmo o de achar o inverso fica simples: sendo k tal que A^k = 0, temos A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I) <=> -I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I) Logo A-I é inversÃvel e sua inversa é -(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I). []'s Shine --- admath <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > 1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A > -In é inversÃvel e obtenha sua inversa. > Gostaria de saber como resolvo este > tipo de questão organizadamente, separando a > hipótese a tese, essas coisas. > > 2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I > Por que preciso > garantir a matriz A sendo nxn? > > Obrigado. > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================