Conforme lembrou Bernardo Freitas, a demonstração de que um espaço vetorial possui uma base é normalmente feita utilizando-se uma forma equivalente do Axioma da Escolha (AE). Eis alguns fatos relacionados que talvez sejam pouco conhecidos:
(1) A demonstração de que AE ==> Teorema da Base remonta a um argumento do matemático alemão Georg Hamel, que em 1905 provou, utilizando efetivamente o AE (e não sua versão maximal à la Mr. Zorn), a existência de uma base para IR como Q-espaço vetorial. Uma década depois o resultado seria generalizado por Hausdorff (que de certa forma antecipou Zorn no uso habilidoso de "PrincÃpios Extremais" na teoria dos conjuntos). (2) Como estudioso de Lógica Matemática, sempre me perguntava: seria possÃvel provar o Teorema da Base SEM o Axioma da Escolha? Dada a natureza visivelmente não-construtiva da existência de uma base em geral, eu suspeitava que não, não seria possÃvel -- até o dia em que tomei conhecimento de que Andreas Blass (http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/) havia provado a recÃproca na década de 1980. Portanto, o AE não é apenas suficiente, mas NECESSÃRIO para garantir a existência de bases de espaços vetoriais. Carlos César de Araújo Gregos & Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
