Segue abaixo a solução do problema 2 do 2o dia. Vou deixar um espaço pra quem quiser tentar!
02) Calcule o seguinte limite 2x / lim | (sin t)^m/t^n dt (m,n naturais) x->0+ / x . . . . . . . . . . . . . . . . Pronto! Vamos dividir em três casos: (i) m< n-1: pelo teorema do valor médio, existe t em (x, 2x) tal que int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt = x.(sent)^m/t^n. Logo, lim(x->0+) int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt= lim(x->0+) x.(sent)^m/t^n= lim(x->0+)(x/t).(sent/t)^m.[1/t^(n-1-m)]. Nesse último limite, (sent/t)^m -> 1 (pois sent/t -> 1), x/t é limitado (pois t em (x,2x) => 1/2 < x/t < 1) e [1/t^(n-1-m)] -> oo, já que n-1-m > 0. Logo, nesse caso, o limite é oo. (ii) m> n-1: seguindo o mesmo raciocínio, temos lim(x->0+) int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt= lim(x->0+) x.(sent)^m/t^n= lim(x->0+)(x/t).(sent/t)^(n-1).(sent)^(m-n+1) De modo análogo, x/t é limitado, (sent/t)^(n-1)-> 1 e (sent)^(m-n+1)-> 0. Assim, o limite é igual a zero. (iii) m=n-1: se fizermos o mesmo raciocínio, concluiremos apenas que o limite está entre 1/2 e 1, mas não chegamos a nenhuma fórmula fechada. Façamos o seguinte: temos int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt= int(x ateh 2x) (sent)^m/t^(m+1) dt Derivando por partes a expressão (sent/t)^m, concluímos que (sen2x/2x)^m - (senx/x)^m= int(x ateh 2x){[m.(sent)^(m-1).cost]/t^m - [m.(sent)^m]/t^(m+1) Passando o limite, o lado esquerdo fica igual a 0. de modo que lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt = lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1).cost]/t^m dt Não é difícil provar que lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1).cost]/t^m dt= lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1)]/t^m dt Isso se deve ao fato de cost->1 qdo t->0. Temos então lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt = lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1)]/t^m dt . Em particular, lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt = lim int(x ateh 2x) (sent)^0]/t^(0+1) dt = lim int(x ateh 2x) 1/t dt= ln(2x)-lnx= ln2. Algumas passagens podem ter ficado obscuras, e eventualmente pode haver algum erro. Qq coisa, me avisem! Ateh mais, Yuri []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================