Caro Igor: Achei uma solução razoavelmente intuitiva para este problema:
> "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that > 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that > if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the > complex plane by the vertices of a convex n-gon then the > number Z is represented by a point lying inside that n- > gon." A idéia é supor que Z não é interior ao polígono e tentar chegar a uma contradição. Suponha que Z não seja interior ao polígono. Então, de duas uma: 1. Z é externo ao polígono; ou 2. Z pertence alguma aresta do polígono (mas não é um dos vértices, uma vez que, nesse caso Z = Ck, para algum k e, 1/(Z-Ck) não estaria definido). Como o polígono é convexo, no caso (1) será possível achar uma reta que contenha Z mas que não intercepte o polígono (em outras palavras, o polígono estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta). Tome esta reta. No caso (2), tome a reta suporte da aresta que contém Z. Nesse caso, o restante do polígono (excetuando-se a tal aresta)estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta. Em seguida, efetue uma translação dos eixos coordenados de forma que Z passe a coincidir coma origem do plano complexo. As novas coordenadas dos vértices serão: Dk = Ck - Z k =1, ..., n Uma vez feita a translação, efetue uma rotação dos eixos em torno da origem, de modo que o polígono (ou no caso da reta conter uma aresta, do restante do polígono) fique inteiramente contido no semi-plano real positivo (quadrabntes 1 e 4). Se a rotação foi de um ângulo "theta", as novas coordenadas dos vértices serão: Ek = Dk*exp(i*Theta) k = 1, ..., n . Agora, observe que SOMA 1/(Z-Ck) = 0 se e somente se SOMA 1/Ek = 0. Os Ek's tem todos parte real positiva (se o eixo imaginário contiver uma aresta, então dois deles terão parte real = 0, mas isso não afeta a análise que se segue). Portanto, 1/Ek também terá parte real positiva. Mas, nesse caso, SOMA 1/Ek terá parte real positiva ==> Contradição Logo, Z tem de ser interior ao polígono. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================