Mudando um pouco a notação...
Ponha: Df(x) = f(x+1) - f(x).
Para todo x em R+, e todo inteiro positivo k, existe (pelo TVM) y_k entre x
e x+1 tal que (Df)^(k)(x) = f^(k)(x+1) - f^(k)(x) = f'^(k+1)(y_k) > 0.
Logo, Df satisfaz a primeira condição do enunciado.
Além disso, como f' é positiva para tod
Pense um pouco sobre g(x)=f(x+1)-f(x), essa questão é bem tricky, o segredo
é que a g satisfaz as condições da questão, logo, por indução, vale que
g(n) é maior ou igual a dois elevado a n menos um, mas isto implica que o
mesmo vale para f(n+1), completando a indução (tem que pensar bastante para
s
Meu grupo da faculdade estamos com dificuldade de resolver o problema 5 da
segunda fase da OBM-U 2018.
Enunciado: Sejam R+ o conjunto dos números reais positivos e f:R+->R+ uma
função infinitamente diferenciável tal que:
1) Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f^(k)(x)>0 .
(O
Alguém tem alguma ideia?
Sejam R+ o conjunto dos numeros reais positivos e f : R+ → R+ uma func¸ao
infinitamente diferenciável tal
que:
1. Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f(k)(x) > 0 .
(f(k)
representa como de costume a
k-esima derivada).
2. Para todo m inteiro positivo,
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