Não entendi o porquê da função crescente. A meu ver a função (1/e)^x é
exponencial decrestente e faz bijeção no intervalo R -> R+ admitindo inversa
-ln(x) (R+ -> R)
Acho que o que você quis dizer era não constante
E(x+y) = E(x)E(y)Se y=0, E(x) = E(x)E(0), qualquer que seja x, logo E(x) = 0,
absurdo, ou E(0) = 1
Se E(0) = 1 temos, tomando x=y=1E(2) = E(1)^2Tomando x=2, y=1E(3) = E(2)E(1) =
E(1)³
PIF: E(nx) = E(x)^n, se n é inteiro positivoHipótese: E((n-1)x) =
E(x)^(n-1)Indução: E((n-1)x+x) = E((n-1)x)E(x) = E(x)^n = E(nx)
PIF: E(-nx) = E(-x)^n, se n é inteiro positivoHipótese: E(-(n-1)x) = E(-x)^(n-1)
Indução: E(-(n-1)x-x) = E(-(n-1)x)E(-x) = E(-1x)^n = E(-nx)
Lema: E(p/q) = E(1)^(p/q), p, q inteiros não nulosE((1/q).q) = E(1) = E(1/q)^q
-> E(1/q) = E(1)^(1/q)E(p.1/q) = E(1)^(p/q), cqd
Extenda para irracionais (aqui eu não sei muito bem se está rigoroso)Sabemos
que existem sempre existe p pertencente aos inteiros com um inteiro q dado tais
que p/q < x < (p+1)/q = p/q + 1/q
Admintindo E(1)>1, temos que a função é crescente e E(p/q) < E((p+1)/q),
podemos escolher q suficientemente grande tais que os intervalos tendam a serem
iguais e x tende a p/q, de modo que E(x) = E(p/q) = E(1)^(p/q) = E(1)^x.Análogo
para E(1)<1
Como vale para racionais e irracionais, vale para reais.
Logo tomando E(1) != de 1, caso contrário a função seria constante, temos
E(1) = a e E(x) = a^x, para todo x pertencente aos reais
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Função exponencial(ajuda)
Date: Thu, 28 Jun 2012 21:27:03 +0000
Uma a bijeção E:R-->R+ chama-se função exponencial quando sua inversa F:R+ -->R
é uma função logaritmica.
Prove que a bijeção E:R-->R+ é uma função exponencial se,e somente se,cumpre as
condições:
a) E é crescente
b) E(x+y) = E(x).E(y)
Obrigado pela atenção.
