Na realidade, o conjunto A = {(x,y) em R^2 : x > 0, y > 0, x e y irracionais e x^y racional} nao eh enumeravel.
Para cada transcende x > 0 fixo, a função f(t) = x^t, t > 0, eh continua e seu conjunto imagem eh (1, oo), se x > 1, ou (0, 1), se 0 < x < 1. Fixemos um racional r em, digamos, (1, oo), supondo x > 1. Pelo teorema do valor intermediario, existe um t para o qual f(t) = x^t = r. Assim, t = log r (base x), com x > 1. Como esta função logaritmica é estritamente decrescente, para diferentes valores de x obtemos diferentes valores de t. Verificamos também que cada um destes números t eh irracional, pois transcendente elevado a racional não nulo é sempre transcendente. Um raciocínio similar vale se x for um trannscendente em (0, 1). Como todo transcendente é irracional, existe, desta forma, uma bijecao entre um subconjunto de B de A e o conjunto dos trannscendentes positivos. Como este último não é enumerável, segue-se que B - e, portanto, A - não são enumeráveis. Vemos, também, que em cada (x,y ) de A, x é transcendente. Se x fosse algebrico, o teorema de Gelfond/Scheneider implicaria que x^y, contrariamente aa hipotese, fosse irracional. Artur Date: Sun, 5 Apr 2009 02:57:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Oi, Bouskela, Este é outro Ponce.... O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais velho mesmo. Quase tanto quanto eu ... Hahaha. Abraços, Nehab Albert Bouskela escreveu: Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações! Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que não se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles existem. É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional... Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Gabriel Ponce Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Tome x=y=sqrt(2). Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é irracional. Neste caso, z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 que é racional, e o problema está resolvido. ^^ 2009/4/4 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com> Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que x^y é RACIONAL. Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade. Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= _________________________________________________________________ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br