Eu fiz essas duas questões, se alguém puder dar uma conferida fico
agradecido.
1) Seja f:R->R continua, com lim f(x) = +oo qdo x->+oo e limf(x) = -oo qdox->-oo. Prove que, para todo c pertencente ao R(reais) dado, existe entre as raizes x da equação f(x) = c uma cuja modulo de |x| é minimo.(prova) Observamos que o conjunto formado por x pertencendo a R(reais) tal que f(x) = c eh fechado e (como lim f(x) = +oo qdo x->+oo e limf(x) = -oo qdox->-oo) limitado. Logo pelo teo. de Weierstrass, existe xo entre as raizes tal que |xo| é minimo.
[Artur Costa Steiner]Elaborando mais um pouco: O conjunto {x | f(x) = c} eh fechado e nao eh vazio, contendo assim um elemento y. Para todo M >|y|, o conjunto A = { x | f(x) = c e |x| <= M} = {x | f(x) = c} inter [-M, M] eh fechado e limitado, logo compacto. Temos que B = { |x| | f(x) = c e |x| <= M} eh a imagem de A atraves da funcao |.|, que eh continua. Assim, B eh compacto . Assim, existe o minimo citado..2)Uma função f:R->R diz-se periodica qdo existe p pertencente aos R+(reais positivos) tal que f(x+p) = f(x) para todo x pertencente ao R(reais). Prove que toda função contínuia periodica f:R->R é limitada e atinge seus valores maximos e minimos, isto é, existem x0,x1 pertencente a R tais quef(x0) <=f(x) <= f(x1), para todo x pertencente a R.(Prova) Como f:R->R é continua e periodica então f|[0,p] também eh continua e periodica.Logo como o dominio é compacto e f|[0,p] é continua então pelo teo. de weiertrass, existe x0,x1 pertencente a [0,p] onde f assume seus valores de maximo e minimo.
[Artur Costa Steiner]Para todo real x, existe y em [0,p] tal que f(x) = f(y). Como f eh continua e [0,p] eh compacto, a restricao de f a este intervalo e nele assume seus valores minimo e maximo em xo e em x1, respectivamente. Para todo real x, temos entao que f(x0) <= f(y) = f(x) <= f(x1), ficando assim demomstrada a afirmacao..Na realidade, f eh uniformemente continua em R.