Estamos aí Aliás, se f não for contínua em a, não pode mesmo ser derivável em a. Artur
-----Mensagem original----- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Jefferson Chan Enviada em: quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011 13:42 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] análise real Obrigado pela ajuda. abs, Jefferson On Thu, 2011-02-10 at 11:25 -0200, Artur Costa Steiner wrote: > As condições dadas implicam que, para todo eps > 0, exista delta > 0 tal que, > se x < a < y e y - x < delta, então |(f(y) - f(x))/(y - x) - L | < eps (1). > Para todos x e y com a < y < a + delta/2 e a- delta/2 < x < a, temos então > que (1) é satisfeita. Mantendo-se y fixo e fazendo x --> a+, o fato do f ser > contínua em a implica, em virtude de (1), que |(f(y) - f(a))/(y - a)- L| <= > eps (2). Como eps é arbitrário e, para todo eps > 0 podemos encontra delta > que satisfaça a (2), concluímos que lim y --> a- (f(y) - f(a))/(y - a) = L. > Logo, f'(a-) existe e iguala-se a L. > De forma similar, mostramos que f'(a+) = L, de modo que f é derivável em a > com f'(a) = L. > > É de fato fácil ver que a diferenciabilidade em a é essencial. Basta tomar a > = 0 e f(x) = x^2, se x <>0, e f(0) = 1 > > Abraços > Artur > > > > > -----Mensagem original----- > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de > Jefferson Chan > Enviada em: quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011 08:08 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise real > > Na verdade, a minha dúvida é somente mostrar que é derivável. Eu consigo > mostrar que é necessário que f seja contínua. > > abs, > Jefferson > > On Thu, 2011-02-10 at 07:54 +0100, Bernardo Freitas Paulo da Costa > wrote: > > 2011/2/10 Jefferson Chan <jeffersonj...@gmail.com>: > > > Seja f: I-->IR contínua no ponto a interior ao intervalo > > > I. Suponha que existe L real tal que > > > > > > lim [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n - x_n] = L > > > > > > para todo par de sequencias {x_n}, {y_n} em I com x_n < a < y_n e lim x_n > > > = lim y_n = a. > > > Prove que f é derivavel no ponto a e f'(a)=L. Mostre que a hipótese de f > > > ser contínua no ponto a é indispensável. > > Oi Jefferson. Qual é a parte que tá dando problema ? Mostrar que é > > derivável? Ou que é necessário que f seja contínua em a ? (são duas > > idéias diferentes que você precisa ter) > > > > Abraços, > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > ========================================================================= > Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
