Acho que o Teorema de Liouville é, de fato, uma das formas de provar isto.
Suponhamos que esta f exista. Então, para todo z, |fz| > |z| >= 0, do que deduzimos que f nunca se anula. Existe, então, a função g: C --> C dada por g(z) = z/f(z). Em virtude da desigualdade dada e do fato de f ser inteira, temos, para todo complexo z, que: |g(z)| = |z/f(z)| = |z|/|f(z)| < 1, do que deduzimos que g é limitada por 1 em todo o C. Como f nunca se anula, g'(z) = (f(z) - z f'(z))/(f(z))^2, do que deduzimos que g é diferenciável em C e que é, portanto, uma função inteira. Como g é inteira é limitada, segue-se do teorema de Liouville que g é constante, havendo assim uma constante complexa k tal que g(z) = z/f(z) = k. Como isto vale para todo z, temos necessariamente que k não é nulo, decorrendo portanto que f(z) = z/k para todo complexo z. Mas isto implica que f(0) = 0 e que |f(0)| = |0|, contrariando a hipótese de que |f(z| > |z| para todo z. Logo, esta f não existe. Artur -----Mensagem original----- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quarta-feira, 17 de novembro de 2010 11:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Complexa 2010/11/17 Merryl M <sc...@hotmail.com>: > Estou com dificuldade nisto, podem ajudar? > > Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que |f(z)| > |z| para > todo complexo z. Você já viu Liouville? A demonstração (por complexos) de que os polinômios sempre têm uma raiz? Eu acho que deve sair por aí... > Obrigada. > > Amanda abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
