---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 28 Nov 2006 18:26:48 -0200 Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada Piauiense de Matemática
> Prove que a³/bc + b³/ac + c³/ab >= a + b + c > De uma olhada no enunciado original. Ele deve dizer que a, b e c sao positivos. Por exemplo, se a = b = 1 e c = -2, entao a desigualdade acima ficaria: -1/2 - 1/2 - 8 >= 1 + 1 - 2 ou -9 >= -1 ==> absurdo. Tambem eh claro que abc <> 0, dado o lado esquerdo. Suponhamos, assim, que a >= b >= c > 0. Entao, a^3 >= b^3 >= c^3 e tambem bc <= ac <= ab. Portanto, 1/(bc) >= 1/(ac) >= 1/(ab). Desigualdade do rearranjo ==> a^3/(bc) + b^3/(ac) + c^3/(ab) >= a^3/(ab) + b^3/(bc) + c^3/(ac) = a^2/b + b^2/c + c^2/a. Pela nossa hipotese, a^2 >= b^2 >= c^2 e 1/c >= 1/b >= 1/a. Usando rearranjo mais uma vez, obtemos, finalmente: a^2/b + b^2/c + c^2/a >= a^2/a + b^2/b + c^2/c = a+b+c. E pra saber que raio de desigualdade do rearranjo eh essa, de uma olhada em: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/desigualdades.pdf []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================