Olá,
bom, acho que encontrei um modo mais simples de demonstrar:
vc chegou em:
p^2(p-q) >= q^2(p-q)
logo:
p^2(p-q) - q^2(p-q) >= 0
(p-q)(p^2-q^2) >= 0
(p-q)(p-q)(p+q) >= 0
(p-q)^2(p+q) >= 0
Logo, (p-q)^2 >= 0, sempre... e como p e q sao positivos, p+q >= 0 sempre
logo, esta provado.
abracos,
Salhab
> > o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do
> > rearranjo.
>
> Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
> uma das formas de demonstrá-la
> seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.
>
> p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p
> p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0
> p^2 (p-q) >= q^2(p-q)
>
> Exemplo:
>
> Supondo p== q temos igualdade
> OK.... pass
> Supondo p > q , p>0, q>0 temos
> p^2 > q^2
> OK ... pass
> Supondo q> p , p>0, q>0 ==> p-q < 0 e
> p^2 > q^2 (trocando o sinal).
> OK... pass
> Os outros casos
> (p>0,q<0 com p>q ), (p<0, q>0 com p>q ), (p<0,q<0 com p>q )
> (p>0,q<0 com p
0 com p> são demonstrados de forma similares.>> Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação"> de todos os casos é meio "tosca", mas> será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis?>> Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos> conhecidos.> Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr.> 7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr>> Note que 2 = 2.1 foi expandido.>> Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo> poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber> exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o> sentimento e> a criatividade.>>> Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu> doutorado em análise.> Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras> como na linguagem Prolog.> Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog>> Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem> responder questões mais ou menos> simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese> do teorema é uma regra e> cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.>> Se fôssemos usar a força bruta e aplicar> todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória> de sentenças e dificilmente> chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema> chegando em regras atômicas que> por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.>> Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de> computador... como nesse exercício.>>>>>>> =========================================================================> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =========================================================================>