De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: Data:Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) Assunto:[obm-l] equação do terceiro grau > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 > Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 < 0 f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação ==> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==> 2*cos(3t) = 1 ==> cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.