Sejam, a, b e c os lados do triángulo, então o quadrado da area pode ser
expressa assim:
Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c), onde p é o semi-perímetro =(a+b+c)/2
ou seja que aquele produto deve ser o quadrado de um número inteiro positivo.
seja S=a+b+c o perímetro, então o quadrado da área é
Quadrado da area = (S/2)(S/2 -a)(S/2 - b)(S/2 -c)
então:
16 . quadrado da area = S(S-2a)(S-2b)(S-2c)
Se S fosse ímpar, então o lado direito da igualdade seria ímpar, o qual é
incorreto pois do lado esquerdo temos um par.
então S deve ser par, ou seaj p=S/2 é um inteiro.
Voltando ao quadrado da area:
Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c)
O primeiro fator (p) é a soma dos otros tres p = (p-a) + (p-b) + (p-c)
então temos o problema de encontrar tres número inteiros que multiplicados por a
soma deles o resultado é o quadrado de outro inteiro. Os mínimos números
inteiros que cumprem isso são 1, 2 e 3, pois a soma é 6 e 1.2.3.6 = 36 (quadrado
de um inteiro).
então
p-a=1
p-b=2
p-c=3
Resolvendo a=5, b=4, c=3
Julio Saldaña
------ Mensaje original -------
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 31 Mar 2011 19:34:01 +0300
Asunto : [obm-l] Área do tr iângulo
Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
positivos.Qual é o menor valor para a área?
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