On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco medeiros wrote: > Não existe uma função real (i.e., de R em R) contínua que transforme > todo número racional num irracional e vice-versa.
Isto é uma aplicação do teorema de Baire. Teorema de Baire: a união de uma família enumerável de subconjuntos fechados de interior vazio de R também tem interior vazio. Suponha por absurdo que exista f como acima. Para cada racional x, seja Ax = {x} e Bx = f^{-1}(Ax). O conjunto Ax obviamente é fechado de interior vazio. O conjunto Bx é fechado pois é a imagem inversa de um fechado por uma função contínua e tem interior vazio pois está contido nos irracionais. Mas a união de todos os Ax e Bx é R, pois dado um real y, se y for racional temos y em Ay e se y for irracional temos y em B(f(y)). Isto contradiz o teorema de Baire, absurdo. A demonstração do teorema de Baire não é difícil, pode ser encontrada em bons livros de análise ou nos arquivos desta lista. Existe uma versão mais geral do teorema de Baire que fala de outros espaços além de R. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================