2015-08-13 19:55 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <israelmchrisost...@gmail.com>: > Ralph depois de sua resposta, eu estava pensando e cheguei a uma conclusão > interessante, talvez eu possa provar que qualquer intervalo de R tem uma > bijeção com R, usando funções especiais, mas não sei se o meu raciocínio > está correto.Para isto, preciso recorrer a uma função especial, considere > uma função especial f(x), cujo domínio seja os reais, se essa função possui > um mínimo e um máximo, então sua imagem deve estar definida em um intervalo > fechado, e isto prova que há uma bijeção entre R e um intervalo de R, pois o > domínio e a imagem devem ser do mesmo "tamanho".
Cuidado, você apenas mostrou que tem uma função de R num intervalo. Você também poderia fazer uma função de R em Z (tipo parte inteira) e isso não quer dizer que Z e R têm o mesmo tamanho. Ou, pior ainda, o exemplo f(x) = 0 do Ralph... > Mas por qual motivo uma > função que possui um mínimo e um máximo, deve ter sua imagem definida em um > intervalo fechado? Falta análise, ou seja, você dizer que a sua função é contínua. Enfim, eu IMAGINO que você quer dizer que a imagem é o intervalo INTEIRO. (E não se diz "imagem definida em ...", talvez você queira dizer "imagem IGUAL a ..."). > Ralph, este raciocínio prova que há uma bijeção entre R e um intervalo de > R?Poderia usar a função que vc definiu, cujo domínio pertence aos reais mas > tem máximo e mínimo...Talvez não prove para todos os intervalos de R...Está > correto? Não, você precisaria da "função inversa" dessa. (o que é um problema porque a função do Ralph não é bijetiva). Para ajudar a sua intuição, basta achar duas funções, uma de R sobrejetiva no intervalo (que mostra que R tem "mais" do que o intervalo) e uma do intervalo sobrejetiva em R (que dá a "desigualdade no outro sentido). E daí você usa um canhão (Cantor-Bernstein-Schroder, um argumento muuuuuuuuito bonito) para mostrar que então é igual. Claro, você pode usar o arcotangente (e variações) para ter funções explícitas de qualquer intervalo em R, mas em alguns casos você não vai conseguir coisas "bonitinhas" como você quer (funções contínuas com uma só expressão, e tal) porque a topologia vai jogar contra você. Aliás, essa é uma das partes mais curiosas da topologia, que é dizer que "não adianta, não dá". Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
