Nossa bela resolução!! Eu estava tentando aqui resolver essa questão tbm =/
Thank you Sir Nicolau.
Em Thu, 16 Nov 2006 16:33:37 -0200, Nicolau C. Saldanha
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Escrevi a solução do problema 6 para o Claudio Buffara,
acho que outros aqui também devem estar interessados.
O enunciado está aqui:
http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf
Este problema pode ser resolvido por geometria hiperbólica,
ou, para quem não souber o que é isto, números complexos.
O plano hiperbólico H aqui é o semiplano superior no plano complexo.
Uma matriz em SL(2,R) deve ser interpretada como uma transformação
de Möbius em C: z |-> (az+b)/(cz+d), uma isometria de H.
As isometrias do problema são A(z) = z+2 e B(z) = z/(2z+1).
Na figura, o semiplano superior está dividido em 5 pedaços:
X, A+, A-, B+ e B-. É fácil verificar que
A(X U A+ U B+ U B-) = A+,
A^(-1)(X U A- U B+ U B-) = A-,
B(X U A+ U A- U B+) = B+,
B^(-1)(X U A+ U A- U B-) = B-.
Assim z = (A^a1 B^b1 ... A^an B^bn)(i) pertence a A+ se a1 > 0,
pertence a A- se a1 < 0, pertence a B+ se a1 = 0, b1 > 0
e pertence a B- se a1 = 0, b1 < 0.
Em nenhum caso temos z = i donde o produto de matrizes não é a
identidade.
[]s, N.
--
Usando o revolucionário cliente de correio do Opera:
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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