A resitência de um viga retangular é proporcional a sua largura (L) e ao quadrado de sua altura (h). Encontre de que maneira deve-se cortar um tronco cilíndrico de raio ´a´ para se obter uma viga de maior resistência possivel.
O problema é achar as dimensões (largura L e altura h) de um retângulo inscrito num círculo de raio a de tal forma que: R = L*h^2 é máximo. Os lados do retângulo são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual ao diâmetro (2a) do círculo. Assim: L^2 + h^2 = 4*a^2 ==> h^2 = 4*a^2 - L^2 ==> R = L*h^2 = 4*a^2*L - L^3. Derivando em relação a L e igualando a zero, teremos: R'(L) = 4*a^2 - 3*L^2 = 0 ==> L = 2*a/raiz(3) = 2*a*raiz(3)/3 ==> h = L*raiz(2) = 2*a*raiz(6)/3 Falta verificar que estas dimensões realmente maximizam R. Derivando mais uma vez, teremos: R''(L) = -6*L < 0 ==> máximo. ************************ Um funil de volume dado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado seja a menor possível. Trata-se de encontrar a razão h/r que minimiza a área lateral do cone. V = 1/3*Pi*r^2*h = constante ==> h = 3*V/(Pi*r^2) ==> h^2 = 9*V^2/(Pi^2*r^4) Geratriz = g = raiz(h^2 + r^2) Área Lateral = A = Pi*r*g = Pi*r*raiz(h^2 + r^2) ==> A^2 = Pi^2*r^2*(h^2+r^2) Substituindo a expressão para h^2 na fórmual para A62, teremos: A^2 = Pi^2 * r^2 * ( 9*V^2/(Pi^2*r^4) + r^2 ) ==> A^2 = 9*V^2/r^2 + Pi^2*r^4 Derivando A^2 em relação a r e igualando a zero, teremos: A^2'(r) = -18*V^2/r^3 + 4*Pi^2*r^3 = 0 ==> r^6 = 9*V^2/(2*Pi^2) ==> r^3 = 3*V/(Pi*raiz(2)) De h = 3*V/(Pi*r^2) vem h/r = 3*V/(Pi*r^3) = raiz(2) A rigor, deveríamos provar que este valor realmente produz um mínimo, mas isso é fácil de ver a partir da constatação de que A^2(r) é ilimitada superiormente. Conclusão: sua solução está certa (ou, pelo menos, nós dois cometemos o mesmo erro...) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Marcos Reynaldo" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, January 24, 2003 11:31 AM Subject: [obm-l] Problemas de otimização Estou com um problema cujo enunciado não entendi até agora (naum sei nem como começar), quem sabe algum colega possa me ajudar. "A resitência de um viga retangular é proporcional a sua largura (L) e ao quadrado de sua altura (h). Encontre de que maneira deve-se cortar um tronco cilíndrico de raio ´a´ para se obter uma viga de maior resistência possivel." Tem um outro problema que resolvi, mas não estou bem seguro a respeito de sua resposta. Achei raiz de 2, mas tenho uma sensação que esteja errado. Eis o dito cujo: Um funil de volume dado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado seja a menor possível. Agradeço desde já. []´s Marcos. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================