Obrigado, abordagem bem interessante
Eu dei a seguinte prova:
Para z em C/{0}, seja g(z) = f(1/z), obtendo-se uma função holomorfa tal
que lim z —> 0 g(z) = lim z—> oo f(z) = oo. Assim, g é meromorfa em C,
tendo em 0 seu único polo. Sendo n > 0 a ordem deste polo, g é expandida em
C/{0} por uma série de Laurent em torno de 0, havendo portanto complexos
c(-n), … c(0), c(1) ….tais que
g(z) = Soma (k = -n, oo) c(k) z^k, z em C/{0}
Para z em C/{0} temos então que
f(z) = g(1/z) =Soma (k = n, -oo c(k) z^(k) (1)
Em (1), temos a série de Laurent que, em C/{0}, expande f e em torno de 0.
Se nesta série houvesse algum coeficiente não nulo associado a potência
negativa de z, f apresentaria uma singularidade em 0. Mas sendo uma função
inteira, f não apresenta nenhuma singularidade em C, do que deduzimos que,
em (1), todos os coeficientes associados a potências negativas de z são
nulos. Logo, em C/{0} f é o polinômio de grau n dado por
f(z) = c(-n) z^n + …. c(1) z + c(0) (2)
Como f é contínua, temos que f(0) = lim z —> 0 f(z) = c(0), o que mostra
que (2) vale em todo o C. Logo, f é em C um polinômio de grau positivo.
Abs
Artur
Em qui., 14 de jul. de 2022 às 19:23, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Use o fato de que toda função meromorfica em C união {inf} é da forma
> f(z)/g(z), onde f, g são polinômios.
> Daí, como a função do enunciado é inteira, g(z) é constante (e não nula).
> E como f(z) rende a inf quando z tende a inf, f é um polinômio não
> constante.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> > Em 14 de jul. de 2022, à(s) 16:41, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
> >
> > Oi amigos!
> >
> > Um teorema da Análise Complexa diz que, se f é inteira e lim z —> oo
> f(z) = oo, então f é um polinômio (claramente não constante). Nos
> livros em que estudei isso era dado como exercÃcio, de modo que nunca vi a
> demonstração deste teorema. Eu consegui dar duas demonstrações para
> ele, sendo que uma delas sei que está certa A outra acho que também está
> certa, mas a primeira me parece bem melhor.Â
> >
> > Alguém aqui pode dar uma prova, para comparar com a minha? Se houver
> interesse (Análise Complexa não costuma aparecer aqui) eu dou as minhas.Â
> >
> > Obrigado
> >
> > Artur
> >
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