Questão 1:
Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
100x + 10y + z = x3 + y3 + z3
e
100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3
Subtraindo uma da outra e dese
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"OBM - Lista" <[EMAIL PROTECTED]>
Cópia:
Data:
Wed, 10 Sep 2003 20:30:11 -0300
Assunto:
[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
Problema 3
A primeira fileira da tabela
Problema 1: (Não sei se está certo, então peço que verifiquem e apontem
possíveis erros). Seja a = (ABC), por exemplo 725 = (725), A = 7, B = 2,
C=5.
Se (ABC) = A^3 + B^3 + C^3, e (AB(C+1)) = A^3 + B^3 + (C+1)^3, então, como
(AB(C+1)) - (ABC) = 1, 3C(C+1) = 0. Como C não pode ser negativo, C=0.
faça assim, seja n = 100a + 10b + c = a³ + b³
+ c³ (a, b, c dígitos, a > 0)
caso c <= 8
n + 1 = 100a + 10b + c + 1 = a³
+ b³ + (c+1)³
<=> 3c² + 3c = 0 <=>
c = 0
n = 100a + 10b, 10 | (a³ + b³
)
note que (1³, 2³, 3³, ..., 9³) = (1, 8, 7, 4, 5, 6,
3, 2, 9) mod 10
ou seja, se fixa
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