On Wed, Dec 17, 2003 at 09:45:50AM -0200, Artur Coste Steiner wrote: > Para este interessante problema, eu pensei um pouco mais, baseado na > observacoa do pedro, e cheguei aa seguinte prova, para a qual peco a opiniao > dos colegas. > Seja P o conjunto dos pontos de condensacao de S (pontos tais que qualquer > vizinhanca do mesmo intersecta S segundo um conjunto nao enumeravel). Como R > eh um espaco metrico separavel, P nao eh enumeravel, sendo portanto > infinito. Se x pertence a P, entao o interior de qualquer intervalo fechado > de comprimento positivo que contenha x tem com S uma interseccao nao > enumeravel, logo infinita. Se x<y pertencem a P, entao (x,y) contem > infinitos (na realidade, incontaveis) elementos de P, logo de S. Isto prova > que S contem um subconjunto denso no sentido da definicao apresentada pelo > colega Domingos. Achao que este eh o ponto que faltava para fechar a prova.
Tenho lido as mensagens deste thread (como o Morgado diz isso em lingua pátria?) mas não escrevi nada até agora pq estava claro para mim que outras pessoas tinham mandado soluções corretas (por exemplo, a do Pedro Antonio Santoro Salomao), apesar de um pouco longas e pq eu também não sabia dar uma solução mais curta. Esta solução usando o conceito de ponto de condensação fica bem mais curta, mas será que quem mandou a pergunta sabe o que é um ponto de condensação e acompanha a frase "como R é separável, P é não enumerável"? E de qq maneira não está exatamente correta, você precisa tomar apenas os pontos de condensação bilaterais. Senão, podemos ter P = S = [0,1] U [2,3]. Relembrando, x é um ponto de condensação bilateral de S se a interseção de S com qualquer intervalo da forma (x,x+eps) ou da forma (x-eps,x) é não enumerável. O resultado (verdadeiro) que você precisa usar é o de que se S é não enumerável e Q é o conjunto dos pontos de condensação bilineares de S então a interseção T entre S e Q é não enumerável e denso (no sentido do problema original: se x < y pertencem a T então existe z em T, x < z < y). Repensando, a minha recomendação de solução seria a seguinte. Seja S um subconjunto não enumerável de R. Considere todos os intervalos (a,b) tais que a e b são recionais e a interseção se (a,b) com S é enumerável. Como só existe uma quantidade enumerável de intervalos deste tipo a interseção da união de todos eles com S ainda é enumerável. Seja S' a interseção de S com K, o complemento da união destes intervalos. Claramente S' é não enumerável e K é um conjunto perfeito (i.e., fechado sem pontos isolados). Além disso, se um intervalo aberto I intersecta K então a interseção de I com S' é não enumerável. O conjunto fechado K tem um número finito ou infinito enumerável de extremos (i.e, extremos de um dos intervalos abertos disjuntos que compõe o complemento de K): jogue fora estes pontos de S' para obter S'': este é o conjunto não enumerável denso pedido. De fato, se x < y estão em S'' então o intervalo (x,y) intersecta K, donde intersecta S' em um conjunto não enumerável, donde intersecta S'' em um conjunto não enumerável. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================