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Olá,
para provar que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln2,
podemos fazer o seguinte:
sabemos que 1 + x + x^2 + x^3 + ... =
1/(1-x)
trocando x por -x, obtemos: 1 - x + x^2 - x^3 + ...
= 1/(x+1)
como a série da esquerda é uma série de potências,
e converge para todo |x| < 1, entao ela converge uniformemente, e podemos
afirmar
que a integral da serie é a serie da integral..
assim, integrando, temos:
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + .... =
Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n * x^(n+1) / (n+1)!)
para o caso de x = 1, temos: ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3
- 1/4 + ... = Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n / (n+1)!)
aplicando o teste da razao para o módulo da série,
temos:
(1 / (n+2)!) * ((n+1)!) = 1 / (n+2) ..
que tende para 0 quando n tende para infinito..., logo, a série converge, e,
realmente podemos afirmar que:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln(2).
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Thursday, June 22, 2006 8:07
PM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da
Eureka
> Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102
+...+ 1/200
Seja S a soma temos que 1-1/2=1/2 logo
S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+.....
=1/3+1/4+1/5-1/6+.....=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+.......
Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o
dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda
perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será
"deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são
negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o
lado direito.
c.q.d.
Outro problema legal:
Prove que
1-1/2+1/3-1/4+............=ln 2
perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta
soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos
números.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
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