Aparentemente o caso de f decrescente não era análogo , Obrigado Ralph. Em 22 de fevereiro de 2015 22:19, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:
> Tem funcoes demais... Basicamente: > > i) Escolha um a qualquer tal que 0<a<1. > ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a). > iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x > iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes! > > Abraco, Ralph. > > 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes <cronom...@gmail.com>: > >> *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema: >> >> - Encontre todas as funções contínuas f : [0,1] --> [0,1] tais que: >> f(f(x)) = x . >> >> *Procedi da seguinte maneira: >> >> 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) >> que f é bijetiva . >> >> 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA : Se f : X --> R é uma >> função contínua , então f é injetiva se e somente se é crescente ou >> decrescente. >> >> 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu >> como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que f é >> crescente ( o caso em que f é decrescente é análogo) , II. Suponha que >> para algum x em (0,1) : f(x) > x então x = f(f(x)) > f(x) ,uma >> contradição e da mesma forma eliminamos o caso f(x) < x ; portanto f(x) >> = x , para todo x em [0,1] . >> >> 4.O problema fica quando tento provar o caso em que f é decrescente ( >> que parece não ser completamente análogo) ; obviamente a função f(x) = 1 >> - x também satisfaz , logo tentei obter uma contradição ao supor f(x) < >> 1 - x para algum x em (0,1) ; parei por aqui. >> >> *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica >> simples etc...) contudo não consegui continuar ; se for algo mais >> complexo poderiam enviar uma dica junto a solução? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
