Ops, me esqueci de falar que d>1 (!!) A solução é então (a,b) tais que a!=b e mdc(a, b)=min{a,b}
-- Mensagem original -- > > Vou dar minha solução: eu considerei AUB=N partição. > Sejam a, b tais que > a.A= b.B. > Podemos supor, WLOG, que 1 está em A. Então a está em B, de modo que existe >d em B tal que a=b.d. Temos então que b|a, e ainda aA=db.A => d.A=B. > Nosso problema se restringiu então a acharmos d natural tal que d.A=B, >onde AUB é alguma partição de N. Afirmo que todo d satisfaz tal condição. >De fato, cada natural n é representado de modo único na forma d^a.c, onde >d não divide c. Seja então > A= {d^a.c ; a é par e d não divide c} > B= {d^a.c ; a é ímpar e d não divide c} > Claramente AUB= N e d.A=B. > Logo, os pares (a,b) que satisfazem são os que satisfazem mdc(a, b)=min{a, >b}. > Se virem algum erro, me avisem!! > >-- Mensagem original -- > >> >>4. Determine the set of all pairs (a,b) of positive integers for which >the >>set of positive integers can be decomposed into two sets A and B such that >>a.A = b.B. >> >>Seja N = conjunto dos inteiros positivos. >> >>O enunciado fala em decompor N e não particionar N. >>Pra mim, isso significa que devemos ter A U B = N, mas não necessariamente >>A >>inter B = vazio. >>Com essa interpretacao, eu fiz o seguinte: >> >>Consideremos os pares da forma (a,ka), com k inteiro positivo. >>Nesse caso, basta tomar A = kN e B = N para garantir que teremos: >>A U B = N e aA = a(kN) = (ka)N = (ka)B. >> >>De forma analoga, podemos tomar todos os pares da forma (kb,b), com k >>inteiro positivo. >> >>Suponhamos agora que algum par (a,b) satisfaz ao enunciado sem que tenhamos >>a | b ou b | a. >>Isso significa que d < a e d < b, onde d = mdc(a,b). >>Podemos escrever a = a1*d e b = b1*d, com mdc(a1,b1) = 1. >> >>Sejam os conjuntos correspondentes A e B tais que A U B = N e aA = bB. >> >>aA = bB ==> >>a1*d*A = b1*d*B ==> >>a1*A = b1*B >> >>Podemos supor s.p.d.g. que 1 pertence a A. >>Nesse caso, a1 pertence a a1*A ==> >>a1 pertence a b1*B ==> >>existe m em B tal que a1 = b1*m ==> >>b1 | a1 ==> >>b1 = 1 (ja que mdc(a1,b1) = 1). >> >>Mas, b1 = 1 ==> >>a = a1*d, b = b1*d = d ==> >>b divide a ==> >>contradicao >> >>Logo, se a nao divide b e b nao divide a, entao (a,b) nao satisfaz ao >>enunciado. >> >>Conclusao: os unicos pares ordenados de inteiros positivos que satisfazem >>ao >>enunciado sao aqueles nos quais uma das coordenadas eh um multiplo da outra. >> >> >>Um abraco, >>Claudio. >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>========================================================================= >> > >[]'s, Yuri >ICQ: 64992515 > > >------------------------------------------ >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================