Pronto! Soh um detalhe. O argumento que fiz abaixo mostra que existe n tal que f(n)=0 (mod p) qdo p é diferente de 13 e 17. Para completar essa parte, basta observar que (17/13) = (4/13) = (2/13)^2 = 1. e que pela lei de reciprocidade quadrática: (13/17)= (-1)^(6x8).(17/13) = 1. Para o caso de achar n tal que f(n)= 0 ( mod p^k), vamos usar o seguinte lema: Seja f(x) in Z[x] e A um inteiro que não divide o coeficiente líder de f. Se existe n tal que f(n)= 0 (mod A) e f´(n) != 0 (mod A), então para todo k natural existe n_k tal que f(n_k)= 0 (mod A^k). Daí, basta ver que os m que encontramos no argumento inicial satisfazem o lema, e o resultado segue.
Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- > Oi Claudio, > Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1 >até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que > > f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), > pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo: > m = n_1 ( mod p_1^a_1) > . > . > . > m = n_k ( mod p_k^a_k) > e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. > Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar >por indução. Observe o seguinte: > p=2: basta tomar x ímpar. > p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo >de Legendre. Então: > (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1. > Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario >(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1 > Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 = 0 >( mod p ). > Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho! > Ateh mais, > Yuri > >-- Mensagem original -- > >>Oi, pessoal: >> >>Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel >>3 >>desse ano (3a. fase): >> >>Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que: >>P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221) >>eh divisivel por m. >> >>(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao >para >>todo m <> 0) >> >>Um abraco, >>Claudio. >> >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>========================================================================= >> > >[]'s, Yuri >ICQ: 64992515 > > >------------------------------------------ >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================