Legal a solução do Bruno, mas eu também quero dar o meu palpite. Ainda mais porque se o Bruno tem o direito de mudar o enunciado (e dizer que "a cada 10 minutos,... a uma pessoa *que não tinha ouvido falar da mensagem*", eu me permito tentar adivinhar também e dizer que, talvez, seja cada pessoa conta, *no total* para duas pessoas, como é em geral o que se tem neste tipo de problema. É claro que a interpretação do Bruno é mais próxima do enunciado, mas aqui como claramente faltam detalhes (é preciso interpretar claramente o que é dito, e este é muitas vezes o maior problema, não a matemática por trás das coisas) eu me permito essa tentativa. Ainda mais que assim fica, realmente, um exercício de P.G., como é a "cara" deste!
Pegando a idéia das etapas, no tempo t=0 temos uma pessoa que sabe. No tempo t=1, temos 2 novas pessoas, e uma antiga. No tempo t=2, temos 4 novas (o carteiro parou de sair espalhando a notícia, considerando que ter deflagrado o processo era mais do que bom) e 3 antigas. Em geral, no tempo t=N teremos 2^N pessoas novas, o que pode ser provado por recorrência : apenas as novas do tempo N-1 contam para 2 outras. As "antigas" serão a soma da P.G. até o instante anterior. Note que "antigas em N" = "todos de N-1", portanto basta sabermos calcular todos. E isso é uma soma de P.G. também, é claro, e dá 2^(N+1) - 1. Assim, queremos que 2^(N+1) - 1 >= 4*10^6 + 1 (sim, eu tenho o mesmo carteiro estrangeiro do Bruno), ou seja 2^(N+1) >= 4*10^6 + 2. Eu não tenho uma calculadora no meu computador (na verdade, não quero usá-la), mas eu sei que 10^3 < 2^10 (1000 < 1024 !!) e portanto (como eu tenho que achar um inteiro para N, de qualquer forma!) eu vou é resolver 2^(N+1) = 4*2^20 = 2= 22 e portanto N = 21. (Note que o erro que foi introduzido é beeeeem pequenininho, e portanto não vai dar uma diferença que seja suficiente para fazer um passo inteiro em N). Bom, deu um pouquinho maior do que o Bruno, o que é normal ! O mais legal disso tudo é que é 3/2 exatos :) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa Ah, Bruno (o que mandou o problema) : confira o enunciado !!! E lembre-se, sempre, que um enunciado ambíguo é um enunciado RUIM. Ou pior ainda, como diriam os mestres da probabilidade que se defrontam com os absurdos de imprecisão que nos dá o vestibular... 2009/10/29 Bruno França dos Reis <bfr...@gmail.com> > > Luiz, sua solução está incorreta. Vc foi "muito direto" chutando a forma da > função -- e acertou, mas poderia ter errado, mas não provou que a função é > essa. Além disso, calculou errado nos pontos particulares. Veja que no minuto > 0 apenas o carteiro sabe, no minuto 10 há 3 pessoas que sabem (o carteiro e > mais duas), e no minuto 20 há 9 pessoas que sabem... > > > Veja esta solução. > > > > Vamos falar que o problema ocorre em etapas k. Em cada etapa uma pessoa que > conhece a mensagem a revela a duas outras pessoas que ainda não a conhecem. > Seja M(k) a quantidade de pessoas que conhecem a mensagem na etapa k. > > Vamos chamar de k = 0 a etapa inicial, isto é, a etapa em que somente o > carteiro conhece a mensagem. > > Então, M(0) = 1. > > Veja que na etapa k = 1 o carteiro contou para duas pessoas, então são 3 que > conhecem agora: o carteiro e mais os dois. > > M(1) = 1 + 2 = 3. > > Na etapa k = 2, cada um dos 3 contou para outras 2 pessoas, ou seja, há 6 > novas pessoas que conhecem a mensagem. Assim, > > M(2) = 3 + 6 = 9 > > Veja que de maneira geral, na etapa k+1 a quantidade de pessoas que conhecem > a mensagem é igual a quantidade de pessoas que sabiam na etapa k (as pessoas > "não esquecem" a mensagem) mais o dobro dessa quantidade de pessoas que > sabiam na etapa k, pq cada um que sabia contou para outros 2 que não sabiam. > > Matematicamente, isto se escreve assim: > > M(k+1) = M(k) + 2 * M(k) > M(k+1) = 3 * M(k) > > Temos então a relação: > M(k+1) / M(k) = 3 > > Ou seja: uma seqüência tal que a razão entre dois elementos consecutivos é > constante e vale 3. Isso é uma Progressão Geométrica de ordem 3 e de elemento > inicial igual a 1. > > Assim, temos obviamente > M(k) = 3^k > > > O problema pedia a quantidade de pessoas que sabiam a mensagem em função do > tempo, não em função de "etapas". Mas temos uma relação entre o número da > etapa e o tempo: > > t = 10*k ==> k = floor(t/10) > (onde "floor" é a função que em português chamamos de "menor inteiro": > floor(x) = z onde z é (o único) inteiro tal que z <= x < z+1.) > (esse "floor" é necessário pq estou assumindo que só e precisamente a cada 10 > minutos é que a mensagem é transmitda, e não que ela é transmitida "em > contínuo"... pq se fosse assim, o modelo matemático diria que em algum > momento há 2,5 pessoas que sabem, o que é absurdo fisicamente!) > > Logo, respondendo ao problema, > > > M(t) = 3^( floor(t/10) ) > > > > Agora, para saber em quanto tempo a cidade toda vai conhecer, vamos usar as > etapas: > > qual é o menor k tal que > M(k) >= 4 000 001 ? > > (veja que devemos usar >= pq pode ser que não haja nenhuma etapa na qual > exatamente 4 000 001 de pessoas conheçam a mensagem -- o "1" é para contar o > carteiro e mais os 4 000 000 de habitantes; note entretanto que num caso de > uma análise "real" isso é totalmente desprezível) > > Fácil, basta calcular log_3 (4 000 001) ~= 13.8 > > Vemos então que precisamos de "um pouco" mais de 13 etapas para conseguirmos > o que queremos. Ou seja: precisamos de 14 etapas, e esse é o número mínimo. > > Passando para a escala do tempo, temos que depois de t = 10*14 = 140 minutos > a cidade toda conhecerá a mensagem. > > > > Abraço > Bruno > > > > -- > Bruno FRANÇA DOS REIS > > msn: brunoreis...@hotmail.com > skype: brunoreis666 > tel: +33 (0)6 28 43 42 16 > > http://brunoreis.com > http://blog.brunoreis.com > > GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key > > e^(pi*i)+1=0 > > > 2009/10/29 Luiz Paulo <paulolui...@yahoo.com.br> >> >> Eu pensei da seguinte forma: >> Tomando a função como sendo p(t)=a^t, onde a>0 e t em minutos, teremos: >> I)para t=10, 2 pessoas , logo p(10)=2 (1) >> para t=20, 4 pessoas, logo p(20)=4 (2) >> Dividindo (2) por (1) obtemos que a=2^(1/10). >> Portanto a função fica como sendo p(t)=2^(t/10), onde t está em minutos. >> >> II)Como a população da cidade é de 1milhão=10^6, teremos a equação >> p(t)=10^6 então 2^(t/10)=10^6 então t/10= log 10^6 (na base 2) então >> t/10=6.log10 (base 2) >> então t=60.(1/log2) , tomando log2 (na base 10) como aproximadamente 0,3 >> teremos >> t=60/0,3 = 200 minutos >> >> --- Em qua, 28/10/09, Bruno Carvalho <brunomos...@yahoo.com.br> escreveu: >> >> De: Bruno Carvalho <brunomos...@yahoo.com.br> >> Assunto: [obm-l] Problema com função (Modelagem) >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> Data: Quarta-feira, 28 de Outubro de 2009, 22:54 >> >> >> AMigos, boa noite peço ajuda para resolver o seguine problema >> >> Um carteiro vai a uma cidade com 4 milhoes de pessoas trazendo uma mensagem, >> que em 10 minutos o carteiro repassa para duas pessoas.Supondo que cada >> pessoa repassa para duas outras pesssoas a cada 10 minutos.determinar a >> função que indique a quantidade que sabem a mensagem ao longo do tempo.Em >> quanto tempo toda a cidade vai conhecer a mensagem. >> >> Imaginei a seguinte relação >> >> T P >> 0 0 >> 10 2 >> 20 4 >> 30 6 >> >> Seria p(t)=t/5 , essa função ? >> >> Um abraço >> >> Bruno ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
