Sauda,c~oes,
Começando pelo PS, sou o autor dos
Manuais em questão.
Transcrevo a solução do 1.1.19: the equation
can be rewritten as a^{x^b} = x, or
(log x) / x^b = log a.
There is thus a solution for x if and only if (iff)
log a is in the range (contradomínio) of
x |---> (log x) / x^b. Using elementary calculus,
we get that the range of this function is (fica
como sugestão de exercício) (-infty, 1 / be].
We conclude then that the original equation
has a positive solution for x iff
log a <= 1 / be, that is, iff 1 < a < e^{1/be}.
Como está no livro. Mas deveria ser
a <= e^{1/be}, não?
O Cláudio chegou a b <= 1/(e*ln(a)) ou
log a <= 1 / be. OK.
Para o 1.1.20 os autores usam
f(x) = 3^x x^{-3} para x > 0. Então,
f´(x) = [3^x(x log3 - 3)] / x^4 > 0 for x > 3/log3.
As 3/log3 < 3 < pi, we have
f(3)=1 < f(pi) = 3^{pi} / pi^3, that is, pi^3 < 3^{pi}.
Muitas outras funções poderiam ser usadas.
Os autores consideram também f(x) = log x / x,
que é decrescente para x > e, bem como g(x) =
x^3 - 3^x e h(x) = (3+x)^{(pi - x)}.
Sem contar a do Nicolau, é claro. Eu teria usado
log x / x, como em outra mensagem (acho
que do Márcio).
[]´s
Luís
-----Mensagem Original-----
De: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 19:08
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação
> Caro Luís:
>
> Aqui vão minhas soluções. Estou muito mais confiante na do segundo do que
na
> do primeiro.
> >
> > Problem 1.1.19 For which positive numbers
> > a and b, with a>1, does the equation
> > log_a x = x^b have a positive solution for x?
> >
>
> Suponhamos a fixo (a > 1, de forma que ln(a) > 0).
> O maior valor de b para o qual a equação tem solução é tal que as curvas:
> y = log_a(x) e y = x^b são tangentes.
>
> dlog_a(x)/dx = 1/(x*ln(a))
> d(x^b)/dx = b*x^(b-1)
>
> Igualando as derivadas:
> 1/(x*ln(a)) = b*x^(b-1) ==> x^b = 1/(b*ln(a)) ==> x = 1/(b*ln(a))^(1/b)
>
> Assim, as curvas terão a mesma inclinação para x0 = 1/(b*ln(a))^(1/b)
>
> Se as curvas são tangentes, a equação tem solução única x = x0. Assim:
> log_a(x0) = (-1/b)*log_a(b*ln(a))
> x0^b = 1/(b*ln(a))
>
> x0^b = log_a(x0) ==>
> -1/ln(a) = log_a(b*ln(a)) = ln(b*ln(a))/ln(a) ==>
> ln(b*ln(a)) = -1 ==>
> b*ln(a) = 1/e ==>
>
> Assim, dado a > 1, a equação terá solução para todo b tal que 0 < b <=
> 1/(e*ln(a)).
>
> **************
>
> > Problem 1.1.20 Which number is larger,
> > pi^3 or 3^{pi} ?
> >
> Acho que a idéia é usar a mesma função que o Nicolau usou no problema
> abaixo:
> f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x) ==>
> f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) ==>
> f é crescente até e e decrescente a partir de e.
> Como e < 3 < pi, teremos:
> 3^(1/3) > pi^(1/pi) ==> 3^pi > pi^3
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> P.S.: Você é o Luís Lopes dos Manuais de Indução Matemática e Funções
> Exponenciais e Logarítmicas?
> >
[corte grande]
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