Outra solução: As raízes de x^2 + x + 1 são r1 = cis 2pi/3 e r2= cis 4pi/3, as raízes cúbicas de 1 exceto 1.. Sendo D o quociente e ax + b o resto da divisão. temos que
*x^30 - x^28 + 7x^12 = D(x) ( x^2 + x + 1) + ax + b* *Como 30 e 12 são múltiplos de 3, r1^30 = r1^12 = 1. E r1^28 = r1 . r1^27 = r1. Assim, fazendo x = r1, vem* *1 - r1 + 7 = 8 - r1 = 8 - (-1/2 + raiz(3)/2 i) = 8,5 - raiz(3)/2 i = -a/2 + a raiz(3)/2 i + b.* *Assim, a = -1, b - a/2 = b + 1/2 = 8,5 , b = 8. O resto é -x + 8.* *Fazendo x = r2, chegamos ao mesmo resultado.* *Mas acho que solução do Matheus é mais elegante. A minha se simplificou porque 30 e 12 são múltiplos de 3 e 28 = 1 + 27, 27 também múltiplo de 3* *Artur * Em sáb, 22 de ago de 2020 21:38, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> escreveu: > Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem > similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato > de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1). > > Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso, > x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e > 7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1). > > Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o > grau de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x. > > Abraços, > > Matheus. > > On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Oi! >> >> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de >> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso? >> >> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos? >> Muito obrigado! >> >> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 + >> x + 1?* >> >> >> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> >> Livre >> de vírus. www.avast.com >> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. >> >> <#m_-615878603476649313_m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.