Oi, Paulo.
Vou supor que a e b são positivos (no final, é só trocá-los por seus valores
absolutos, já que a questão pede mesmo o termo de máximo valor absoluto). Em
potências decrescentes de a, cada termo é da forma T_p=C(n,p).a^(n-p).b^p.
Compare dois termos sucessivos:
T_(p+1)/T_p = ... = (b/a).((n-p)/(p+1))
A sequencia T_p é crescente enquanto isso aí for maior do que 1, isto é,
enquanto:
b(n-p) > a(p+1) <==> p < (bn-a)/(a+b) <==> p+1 < b(n+1)/(a+b)
Em suma, z=[b(n+1)/(a+b)] ([.]=parte inteira) é o último inteiro onde ainda
vale T_(z-1)<T_z. Portanto, T_z é o termo máximo. Agora, cuidado, como o
primeiro termo é T_0, a ORDEM do termo máximo é z+1, daí a resposta.
O negócio de n par e ímpar está errado. O que eu posso dizer é o seguinte:
pode acontecer de b(n+1)/(a+b) ser inteiro, digamos, k=b(n+1)/(a+b). Neste
caso, as contas acima mostram que T_k/T_(k-1)=1, isto é, há dois termos
máximos, que são T_(k-1) e T_k (os termos de ordem k e k+1).
(Note que, se a=b, esta condição passa a ser "(n+1)/2 é inteiro", o que
significa que n é ímpar -- mas isso seria apenas no caso em que a=b).
Abraço,
Ralph
2010/11/5 Paulo Argolo <pauloarg...@bol.com.br>
> Caros Colegas,
>
> Gostaria de uma demonstração do fato abaixo.
>
> Sendo a e b números reais dados (não nulos) e n um número inteiro
> positivo, a ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do
> desenvolvimento da potência (a+b)^n, segundo as potências decrescentes de a
> é dada por:
> p = 1 + parte inteira de [|b|(n+1)/(|a| + |b|)],se n é ímpar.
>
> Quando n é par, há dois termos máximos: os de ordem p e p+1.
> ( |a| e |b| indicam os módulos de a e b, respectivamente.)
>
> Desde já, muito grato.
> Paulo
>
>
>
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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