----- Original Message ----- From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, April 06, 2002 1:44 PM Subject: Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...
> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- > Hash: SHA1 > > On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote: > > > Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas > > demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu > > possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para > > exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma > > falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações que > > fazemos, sempre aparecem. > > > 1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é > > divísível por 133. > > (== quer dizer congruente) > > 11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n == > - -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133) > > > 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por 7. > > A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7), logo > 7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7 > separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema. > > > 3) 1^3+2^3+....+n^3=(1+2+....+n)^2, para todo n pertencente a N*. > > Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2 > Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n. Então: > 1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 <=> 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1] = > (n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro. > > Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então > 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 <=> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = > n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n + 4)/4 > = (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é > verdadeira. > > []s, > > - -- > Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED], ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A) > GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A > -----BEGIN PGP SIGNATURE----- > Version: GnuPG v1.0.4 (GNU/Linux) > Comment: For info see http://www.gnupg.org > > iEYEARECAAYFAjyvbEsACgkQalOQFrvzGQqqIQCg5g9bdlwN/WhsUeO2W89pJ9ow > UrsAmwTRWMF7x5JeNkoDQ0Ajyq8YrWvv > =nEju > -----END PGP SIGNATURE----- > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================