Alguém colocara na lista o exercício que abaixo segue, porém, cometi o
equívoco de apagá-lo:
Dado um triângulo ABC, as tangentes ao círculo circunscrito a tal
triângulo, pelos vértices dos mesmos, interceptam os lados opostos em
três pontos distintos. Provar que tais pontos são colineares.
A solução que segue é simples, não no sentido de bela, mas devido ao
uso de parcos conhecimentos para inferi-la. Dirigindo-me ao original
interessado na resolução, digo:
Desenhe a figura ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M é a
intersecção de AC com a tangente ao círculo por B; N é a interseção de BC
com a tangente por A, e P é o outro, construído de forma semelhante. Seja
X a interseção das tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os
ângulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim:
Triângulo MNX, teta + alfa = 2C;
Triângulo PNB, beta + delta = 180 ? B e
Triângulo MPB, teta + delta = C.
Logo, alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa +
beta + ANB = 180. Logo, M, N e P são colineares.
Essa questão suscitou-me outras. Assim, inquiro ao professores e
interessados: quais são todas as formas, em geometria plana, de se provar
colinearidade de três pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras?
ATT. João Carlos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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