A série da mensagem anterior vem da relação trigonométrica elementar abaixo:
cot(x) = cot(x/2)/2 –tan(x/2)/2
A partir da relação original, podemos facilmente seguir adiante:
cot(x) = cot(x/4)/4 –tan(x/4)/4 –tan(x/2)/2 = cot(x/8)/8 -tan(x/8)/8
–tan(x/4)/4 –tan(x/2)/2 =
= cot(x/2^n)/2^n -tan(x/2^n)/2^n ... -tan(x/8)/8 –tan(x/4)/4
–tan(x/2)/2
Agora vamos observar o termo cot(x/2^n)*1/2^n. É claro que, não importando qual
seja x, podemos fazer n->oo de forma que o termo x/2^n tenda a zero. E então
podemos licenciosamente aproximar cot(Y) por 1/Y:
lim {n->oo} cot(x/2^n)*1/2^n = lim {n->oo} (2^n/x)*1/2^n = 1/x
Assim:
cot(x) = 1/x -tan(x/2)/2 –tan(x/4)/4 –tan(x/8)/8–tan(x/16)/16...
==>S1:
1/x = cot(x) + tan(x/2)/2 + tan(x/4)/4 + tan(x/8)/8 + tan(x/16)/16 +
tan(x/32)/32...
Derivando ou integrando S1 em relação a x podemos obter outras coisas
interessantes. Por exemplo:
==>S2:
1/x^2 = 1/sin(x)^2 – 1/cos(x/2)^2/4 – 1/cos(x/4)^2/16 – 1/cos(x/8)^2/64...
A série a que eu me referi na mensagem anterior sobre transcendência é obtida
fazendo x=Pi/2 em S2.
Também, é claro, estas séries têm suas irmãs hiperbólicas, obtidas da mesma
forma.
Integrando S1 e extraindo o logaritmo também sai uns produtórios interessantes.
Exemplo:
==>P1
x = sin(x) / (cos(x/2)* cos(x/4)* cos(x/8)* cos(x/16)* cos(x/32)*...)
...e a versão hiperbólica:
==>P1h:
x = sinh(x) / (cosh(x/2)* cosh(x/4)* cosh(x/8)* cosh(x/16)* cosh(x/32)*...)
E igualando P1=P1h
sin(x)/sinh(x) = (cos(x/2)* cos(x/4)* cos(x/8)* cos(x/16)*...) / (cosh(x/2)*
cosh(x/4)* cosh(x/8)* cosh(x/16)*...)
Ou, tomando P1h e fazendo x = Pi/2, obtemos algo parecido com uma versão
hiperbólica do produto de Vieta:
Pi/2= sinh(Pi/2) / (cosh(Pi/4)* cosh(Pi/8)* cosh(Pi/16)* cosh(Pi/32)*
cosh(Pi/64)*...)
[]´s Demétrio
----- Mensagem encaminhada ----
De: Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 27 de Setembro de 2006 22:59:15
Assunto: Res: [obm-l]Construção de Transcendente?
Bem, o passo seguinte seria, naturalmente, definir S:
S=limite {m->oo} SOMA(i=1..m) { (1/2^i)*1/r[i] } =
SOMA(i=1..oo) { (1/2^i)*1/r[i] }
A minha idéia original seria, com os passos (1) e (2)
adequadamente demonstrados, observar o grau algébrico de Sm, quando m->oo.
Como o grau algébrico de Sm cresceria sempre com m,
poderíamos inferir que o grau algébrico de S não está definido. E portanto,
isso deve levar a concluir que S é transcendente.
Porém, este raciocínio é forte o suficiente para ser
considerado uma prova de que S é transcendente?
Sem dúvida seria melhor uma prova mais robusta. Mas talvez
isso não seja muito fácil. Parece que as provas de transcendência de Pi são
bastante complicadas afinal.
A reflexão destas mensagens surgiu da observação da
série abaixo:
1/Pi^2 = 1/8 - 1/16/(2+(2)^.5) -1/64/(2+(2+(2)^.5)^.5) -
1/256/(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5)
- 1/1024/(2+(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5)^.5)
-1/4096/(2+(2+(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5)^.5)^.5)-...
De qualquer maneira,
acho que vale a pena postar de onde vem esta série, pela simplicidade
com que ela pode ser obtida. Continuo daqui a pouco...
Demétrio
----- Mensagem original ----
De: Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]>
Para: lista obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviadas: Segunda-feira, 25 de Setembro de 2006 10:43:48
Assunto: [obm-l]Construção de Transcendente?
Olá,
Eu estava observando uma certa série há alguns dias, quando me ocorreu uma
idéia que pareceu bem interessante e que gostaria de discutir com a lista
(apesar de tratar-se de um assunto onde eu tenho muito pouca base...).
É o seguinte:
(Passo 1) - O primeiro objeto de interesse a considerar é a raiz de maior
módulo dos polinômios obtidos pela seguinte construção:
Seja Pa(x) = x-k (k primo positivo)
Seja Pb(x) = x^2 – k
P[1]=Pb(Pa)
P[n]=Pb(P[n-1])
Isto é, P[n] é o polinômio obtido pela composição iterativa de Pb(Pa), e depois
Pb sucessivamente.
Para clarear, um exemplo:
Pa(x)=x-2
Pb(x)=x^2-2
P[1]=(Pa)^2 – 2=(x-2)^2 - 2=x^2-4x+2
P[2]=(P1)^2 - 2=x^4-8x^3+20x^2-16x+2
P[3]=(P2)^2 - 2=x^8-16x^7+104x^6-352x^5+660x^4-672x^3+336x^2-64x+2
...
P[n]=(P[n-1])^2 - 2
As maiores raízes (r[n]) destes P[n]s são:
P[1] -> r[1]=2+2^.5
P[2] -> r[2]=2+(2+(2)^.5)^.5
P[3] -> r[3]=2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5
Isto é, os r[n] são sqrts aninhadas, na forma r[1] = k + sqrt(k); rn = k +
sqrt(r[n-1]).
(Passo 2)- O passo seguinte é mostrar que o grau algébrico de r[n] cresce com
2^n. Isto é, no exemplo anterior, r[2] é algébrico de grau 4, r[3] é algébrico
de grau 8, etc. Ou, na verdade, bastaria mostrar que o grau algébrico de r[n]
cresce SEMPRE com n. Isso parece razoável, porque r[n] possui n sqrts aninhadas.
Porém, lembrando que o grau de P[n] cresce com 2^n, parece mais adequado
mostrar que P[n] é sempre irredutível. Aí eu me embaralhei um pouco. O que eu
tentei foi o seguinte:
1=>P[1] é irredutível pelo critério de Eisenstein
2=>O coeficiente do termo de maior grau em P[n] é sempre 1
3=>O termo a0, segue a sequência abaixo:
P[1]=>k^2-k; P[2]=>(k^2-k)^2-k; P[3]= ((k^2-k)^2-k)^2-k;
que claramente é divisível por k, mas não por k^2
4=>os demais coeficientes são combinações lineares de potências de números que
são divisíveis por k, já que os coeficientes de P1 são divisíveis por k.
5=> Por (1,2,3,4), P[n] deve atender o critério de Eisenstein.
(Passo 3)- O terceiro passo é definir um número construído pela soma Sm abaixo,
e mostrar que Sm é também de grau algébrico >= ao grau algébrico de r[m].
Sm=SOMA(i=1..m) { (1/2^i) * 1/r[i] }
A razão para esta forma da expressão de Sm eu explico mais tarde.
O argumento para justificar grau algébrico Sm >= grau algébrico r[m] é o
seguinte:
Salvo engano, r[n] (e também qq potência inteira positiva de r[n]) não pode
ser obtido por combinações lineares de potências inteiras de r[i],i<n, pois a
expressão de r[n] usa sqrt de r[n-1] :
1=> r[n] = k + sqrt(r[n-1])
2=>sqrt(r[n-1]) não pode ser comb. linear de potências inteiras positivas de
r[n-1]
3=>então: r[n] não pode ser comb. linear de potências inteiras positivas de
r[n-1]; e pelas mesmas razões, de qq r[i],i<n.
4=> com r[m] linearmente independente dos r[i],i<m., o grau algébrico de Sm não
pode ser inferior ao grau algébrico de r[m]
Por fim, vai começar a questão realmente interessante que eu quero discutir com
a lista. Mas esta vale mais a pena propor com os passos (2) e (3) adequadamente
superados. Como eu comentei no início, me falta base no assunto e eu considero
as minhas justificativas até agora meio fracas, de forma que gostaria de
opiniões/sugestões da lista. Agradeço qualquer comentário.
[]´s Demétrio
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