>-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On >Behalf Of Artur Steiner >Sent: Friday, January 30, 2004 5:12 PM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Re: Qual__O_perm_odo_de_uma_fungco? > > >> > >O período fundamental pode não existir se o >> conjunto dos períodos >> > >não tiver mínimo; para funções contínuas isto só >> ocorre se f for >> constante >> > >mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é >> racional e f(x) = 0 >> > >se x é irracional, tem qualquer número racional >> como período. >> > >É bem óbvio que a função constante igual a 0 está >> na nossa classe. >> > >> > Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função >> contínua não tem período >> > mínimo somente se for cnostante. Onde posso >> encontrar alguma explanação >> > dele? > Na mensagem que eu enviei ontem, a abordagem do caso em que w = inf P = 0, P o conjunto dos periodos de f, ficou um tanto confusa, foi feita correndo. De forma mais clara, eh o seguinte. Como w =0, para todo eps>0 arbitrariamente escolhido podemos encontrar um p em P tal que 0<p<eps. Assim, sendo x>0, para todo h satisfazendo a 0<h<x podemos obter p em P tal que x-h<n*p<x (1) para algum natural n. Como p eh periodo de f, f(n*p) = f(0). E como f eh continua em R, logo em x, temos que f(x) - f(x-h) = o(1). o(1) designa uma funcao que (dividida por 1) tende a 0 quando h ->0. (na outra mensagem eu acabei colocando o(h), mas nao eh este o caso). Em virtude de (1), temos entao que |f(x) - f(0)| < eps para todo eps>0, ou seja, f(x) = f(0). Se x<0, o raciocinio eh inteiramente analogo. Concluimos assim que f(x) = f(0) para todo x em R, isto eh, f eh constante. Por contraposicao, concluimos tambem que, se f nao for constante, entao w>0 eh o periodo fundamental existe. Artur
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