Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Seja P_N = cos(x/2) cos(x/4) ... cos(x/2^N)
1ª parte
Provar por PIF que P_N = sen(x)/( 2^(N) sen(x/2^N) )
Para x diferente de zero
Para N=1 é fácil perceber que P_N=sen(x)/2sen(x/2)
Supondo agora que P_(K-1)=sen(x)/( 2^(K-1) sen(x/2^(K-1))
Temos que
P_K= [ cos(x/2) cos(x/4) ... 2 sen(x/2^K) cos (
Veja se concorda com o seguinte raciocínio:
sen(x) = 2*cos(x/2)*sen(x/2) = 2*cos*(x/2)*(2 cos(x/4)*sen(x/4))
Então, teremos (pode-se provar por indução):
sen(x) = 2^(n)*cos (x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos (x/2^n)*sen(x/2^(n))
Dividindo ambos os lados da igualdade por x:
(sen(x))/x =
2
Faça:
C(n) = cos(x/2)cos(x/4)...cos(x/2^n)
e
S(n) = sen(x/2)sen(x/4)...sen(x/2^n)
Então:
S(n)*C(n) = sen(x/2)cos(x/2)*sen(x/4)cos(x/4)*...*sen(x/2^n)cos(x/2^n)
= (1/2)sen(x)*(1/2)sen(x/2)*...*(1/2)sen(x/2^(n-1))
= (1/2^n)*sen(x)*S(n)/sen(x/2^n)
= sen(x)*S(n)/(2^n*sen(x/2^n)) ==>
C(n) = sen(x)/(2^
Olá! o pessoal postou várias soluções, mas motivado pelo seu email acabei
escrevendo de um outro modo e colocando num blog, se quiser dar uma olhada,
tem um material extra de produtórios para download também
Link
https://matematicapurafm.blogspot.com/2018/07/produtos-envolvendo-funcoes.html
Tem um outro produtório trigonométrico que também é interessante, onde os
argumentos estão em PA e não em PG:
Pondo x = Pi/(2m), com m natural, calcular sen(x)*sen(2x)*...*sen((m-1)*x)
E também, pondo y = Pi/(2m+1), calcular sen(y)*sen(2y)*...*sen(my).
Idem para cossenos (com x e com y).
***
6 matches
Mail list logo