[obm-l] produtório(seno e cosseno)

Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)

Seja P_N = cos(x/2) cos(x/4) ... cos(x/2^N) 1ª parte Provar por PIF que P_N = sen(x)/( 2^(N) sen(x/2^N) ) Para x diferente de zero Para N=1 é fácil perceber que P_N=sen(x)/2sen(x/2) Supondo agora que P_(K-1)=sen(x)/( 2^(K-1) sen(x/2^(K-1)) Temos que P_K= [ cos(x/2) cos(x/4) ... 2 sen(x/2^K) cos (

Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)

Veja se concorda com o seguinte raciocínio: sen(x) = 2*cos(x/2)*sen(x/2) = 2*cos*(x/2)*(2 cos(x/4)*sen(x/4)) Então, teremos (pode-se provar por indução): sen(x) = 2^(n)*cos (x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos (x/2^n)*sen(x/2^(n)) Dividindo ambos os lados da igualdade por x: (sen(x))/x = 2

[obm-l] Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)

Faça: C(n) = cos(x/2)cos(x/4)...cos(x/2^n) e S(n) = sen(x/2)sen(x/4)...sen(x/2^n) Então: S(n)*C(n) = sen(x/2)cos(x/2)*sen(x/4)cos(x/4)*...*sen(x/2^n)cos(x/2^n) = (1/2)sen(x)*(1/2)sen(x/2)*...*(1/2)sen(x/2^(n-1)) = (1/2^n)*sen(x)*S(n)/sen(x/2^n) = sen(x)*S(n)/(2^n*sen(x/2^n)) ==> C(n) = sen(x)/(2^

[obm-l] Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)

Olá! o pessoal postou várias soluções, mas motivado pelo seu email acabei escrevendo de um outro modo e colocando num blog, se quiser dar uma olhada, tem um material extra de produtórios para download também Link https://matematicapurafm.blogspot.com/2018/07/produtos-envolvendo-funcoes.html

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)

Tem um outro produtório trigonométrico que também é interessante, onde os argumentos estão em PA e não em PG: Pondo x = Pi/(2m), com m natural, calcular sen(x)*sen(2x)*...*sen((m-1)*x) E também, pondo y = Pi/(2m+1), calcular sen(y)*sen(2y)*...*sen(my). Idem para cossenos (com x e com y). ***