Estes conceitos sao de grande importancia na analise de convergencia de series
e em teoria da medida. Acho que uma das mais importantes propriedades do
limsup, que, creio eu, vc deve procurar entender bem porque vogora e:
Se x > limsup x_n, entao existe k tal que x_n < x para todo n > k.Se x < limsup
x_n, entao a desigualdade x_n > x ocorre para uma infinidade de indices n.
Propriedades similares valem para o liminf x_n,
Veja que tais conceitos fazem sentido mesmo que x_n tenha limite, finito ou
infinito. Neste caso, liminf = lim = limsup
Acho que vc deve procurar entender bem porque as seguintes afirmacoes sao
equequivalentes:
x = limsup x_n = infimo(n = 1, oo) supremo(m = n, oo) x_mx eh o maior ponto de
aderencia de x_nx satisfaz as propriedades que dei anteriormente.
Para exercitar a manipulacao de liminfs e lmsups, sugiro que vc tente demostrar
que:
Sejam x_n uma sequencia de reais, p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n =
(Soma(k =1, n) p_k x_k)/(Soma (k =1, n) p_k) a sequencia das medias ponderadas
de x_n com relacao aos pesos p_n. Se Soma (n =1, oo) p_n divergir, entao,
liminf x_n <= liminf s_n <= limsup s_n <= limsup x_n
A desigualdade do meio vale, eh claro, para qualquer sequencia de reais.
Artur
Date: Sun, 17 Jan 2010 18:44:39 -0200
Subject: [obm-l] Re: limsup e liminf
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
correção convergem*
2010/1/17 Francisco Barreto <fcostabarr...@gmail.com>
Olá. Cada assunto que eu leio em matemática, especialmente em análise, eu
procuro entender com minhas próprias palavras, procuro entender porque a
definição foi feita de um jeito e não de outro. O que é natural, acho que todo
mudo faz isso, afinal só assim se entende algo direito. Isso dito, eu li as
definições de limsup e liminf e os teoremas relacionados a esses conceitos, mas
eu confesso que tá dificil sacar qual é o propósito. Eu li que esses são
generalizações do conceito de limite para o caso em que as sequencias não
converge, e isto faz sentido perfeitamente. É importante saber o que acontece
quando n -> infinito. Entender que eles são valores de aderência também faz
sentido. Já sacar que um é o maior valor de aderência, o outro o menor, e o
porque da definição ter sido feita através de conjuntos do tipo X_n = {x_n,
x_(n+1),...} é um pouco estranho para mim. Eu não consegui criar uma
demonstração diferente para este fato.
O que vocês sugerem que eu faça para entender isso melhor?
Obrigado,F.
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