Sauda¸c~oes, Retomo uma velha mensagem.
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1} \binom{2n-2k}{n-k} = \delta_{n,0} . Ela aparece como corolário de uma longa exposição. Tentando prová-la, seja S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1} \binom{2n-2k}{n-k} . Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)), onde F(x) é dada por F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} Fazendo k=0,1,2,3,4 vem: S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 + \sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} } Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0. Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5. Dá pra fazer isso? []'s, Luis Dá sim. Escreva F(x) = (1-x) \sum_{k\geq 0} C_k (x(1-x))^k onde $C_k$ é o k-ésimo número de Catalan (NC). Tendo em vista a função geratriz dos NC, F(x) = (1-x) \frac{1-\sqrt{1 – 4x(1-x)}}{2x(1-x)} = \frac{1-(1-2x)}{2x} = 1. Na dedução acima teve a passagem 1 – 4x(1-x) = (1-2x)^2. Logo, S_0=1 e S_n=0 para n\geq1. []'s Luís _________________________________________________________________ Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================