Esse eh um exercicio bem bonito que eu vi pela primeira vez no livro de Analise do Elon.... A ideia eh simples, mas mais facil de explicar com uma figurinha.... Bom, eu explico a solucao e voce faz a figurinha, que tem os conjuntos A e B, setas de A para B que representam f e setas de B para A que representam G. :)
Dado um elemento a0 de A, veja se hah um elemento b0 de B tal que g(b0)=a; entao veja se hah um elemento a1 de A tal que f(a1)=b0; entao veja se hah um elemento b1 de B tal que g(b1)=a1; e assim por diante... Basicamente, voce cria uma sequencia de elementos que estao alternadamente em A e B usando alternadamente as inversas de f e g enquanto isso for possivel (na figurinha, dah um zigue-zague no sentido contrario ao das setas). Note que, como f e g sao injetivas, a escolha desta cadeia a partir de um certo elemento eh unica. Tres coisas podem acontecer: i) Essa cadeia pode terminar num elemento an de maneira que nao existe bn em B tal que g(bn)=an (talvez ateh logo no primeiro elemento a0). Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=f(a_i). Note que eu cobri todos os b's desta cadeia, e defini h para todos os a's dela... ii) Essa cadeia pode terminar num elemento bn de maneira que nao existe an em A tal que f(an)=bn. Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=g^(-1)(a_i)=b_i. Note que eu cobri todos os b's desta cadeia de novo, e todos os a's foram usados pois todos eles tem inversos pela g. iii) Essa cadeia pode nao terminar nunca (sendo ciclica ou nao). Neste caso, faca como quiser... Por exemplo, defina h(a_i)=f(a_i) como no caso (i). Eu tambem cobri todos os a's e b's aqui. Pronto. Essa funcao h eh agora uma bijecao de A em B. De fato, todo elemento b de B estah numa destas cadeias (na cadeia iniciada por g(b), por exemplo), e portanto ela eh sobrejetiva. A injecao segue da "unicidade" da cadeia: se voce comecar de b em B, a cadeia iniciada por g(b) eh unica, e deve terminar num elemento de A ou de B, e portanto obedece apenas a um dos casos anteriores. Minha explicacao eh mais complicada do que a ideia.... Funcionou? Abraco, Ralph -----Original Message----- From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 1/6/02 5:59 PM Subject: En: ajuda em análise -----Mensagem original----- De: haroldo < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > Para: [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > Data: Domingo, 6 de Janeiro de 2002 18:34 Assunto: ajuda em análise Saudações a todos . Alguém poderia me ajudar na seguinte questão : Dados os conjuntos A e B , suponha que existam funções injetivas f: A -> B e g: B->A . Prove que existe uma bijeÇão h:A->B.