Pelo  teorema do valor intermediario, tambem nao estou vendo como provar. 
 
Suponhamos que f seja monotonicamente crescente (se for decrescente, o 
raciocinio eh inteiramente analogo). Sabemos que, por ser monotonica, f so pode 
apresentar descontinuidades do tipo salto, isto eh, existencia de limites aa 
esquerda e aa direita mas em valores diferentes. Suponhamos que f seja 
descontinua em um ponto interior x de I e sejam Le e Ld os limites de f aa 
esquerda e aa direita de x. Suponhamos que y <> x seja outra descontinuidade de 
f em I. Se, y < x, entao, entao L'd < Le, sendo L'd o limite de f aa direita de 
y; se y >x, entao Ld  < L'e, sendo L'e o limite de f aa esquerda de y. Desta 
forma, o intervalo [Le, Ld] nao contem os limites nem aa esquerda nem aa 
direita de nenhuma descontinuidade de f distinta de x. A cada um dos intervalos 
deste tipo, corresponde uma  e somente uma descontinuidade de f em I, havendo 
assim uma bijecao entre a colecao de tais intervalos e o conjunto dos pontos de 
descontinuidade de f em I. Em cada um dos intervalos [Le, Ld] escolhamos um 
racional. Como estes intervalos sao disjuntos 2 a 2, hah uma bijecao entre eles 
e um subconjunto dos racionais, de modo que a colecao de tais intervalos eh 
enumeravel. E como este colecao esta em correspondencia biunivica com o 
conjunto dos pontos de descontinuidade, concluimos que tambem este eh 
enumeravel. 
 
Nesta prova ssumimos implicitamente que I eh aberto. Mas como intervalos 
fechado contem, 2 pontos a mais que o seu interior, a conclusao eh 
automaticamente extendida para intervalos fechados (como tambem aos dos tipos 
[a, b) e (a, b]).   
 
Este teorema eh um caso particualr de um outro, de demonstracao um pouco mais 
dificil, o qual afirma que, se uma f qualquer apresentar limites em todos os 
pontos de um intervalo I, entao o conjunto de suas descontinuidades em I eh 
enumeravel.
 
A conclusao referente a funcoes monotonicas nos proporciona uma forma imediata 
de mostrar que tais funcoes sao  Riemann integraveis em intervalos fechados.
 
Abracos

[Artur Costa Steiner] 
 
 -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: sábado, 30 de junho de 2007 21:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Continuidade em intervalo I.



Gente to resolvendo uma lista de exercícios de análise , pois tenho prova 
semana que vem , e os que naum consigo ver a solução , eu estou mandando para 
cá , e vcs estão me judando muito . Esse aqui eu tentei por teorema do valor 
intermediário e naum consigo ver que são enumeraveis . Me ajudem ! 
 
Seja I um intervalo e f: I -> R  uma função monótona .
 Prove que o conjunto dos pontos da descontinuidade de f é ENUMERÁVEL.

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