---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 31 May 2006 20:33:58 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] Existencia de limite
> A demonstracao do fato a seguir tem, na minha opiniao, > uns detalhes interessantes. Eh uma extensao do > criterio de Cauchy a funcoes gerais. > > Seja f definida em um subconjunto D de R e com valores > em R. Se a eh ponto de acumulacao de D, entao f > apresenta limite real em a se, e e somente se, para > todo eps >0 existir d >0 tal que, para todos x_1 e x_2 > de D que satisfacam a 0 < |x_1 - a| < d e 0 < |x_2 -a > | < d, tivermos |f(x_1) - f(x_2| < eps. A demonstracao > da parte "somente" eh imediata, a parte "se" eh que eh > mais interessante > > Esta conclusao eh imediatamente extendida para funcoes > de um espaco metrico em um espaco metrico completo. > > Artur > > Oi, Artur: Ve se isso faz sentido... Tome uma sequencia (x_n) de elementos de D tal que x_n -> a. Seja (y_n) dada por y_n = f(x_n). Seja eps > 0. Tomemos o d > 0 correspondente, de acordo com a condicao do enunciado. Como x_n -> a, existe N tal que n > N ==> |x_n - a| < d Assim, m, n > N ==> |x_n - a| < d e |x_m - a | < d ==> |y_m - y_n| < eps. Logo, (y_n) eh uma sequencia de Cauchy, e portanto, converge, digamos para L. Em outras palavras, se x_n -> a entao y_n = f(x_n) -> L. Como (x_n) foi tomada arbitrariamente (ou seja, eh uma sequencia qualquer com limite a), temos que f(x) -> L. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
