Na questão 1, Cláudio, creio que é mesmo necessário impor uma restrição adicional, de que o período p deve ser maior do que algum epslon determinável. Afinal, definir uma função periódica cujo período pode ser arbitrariamente pequeno não parece muito útil... De fato, no caso proposto não é possível definir um período fundamental. Questão 3: g(x) = f(x+a) + f(x), para todo x em R, g eh periodica de período fundamental p.
hipótese 1- f(x) é periódica de período p1 < p; Neste caso é claro que g também seria periódica de período p1. Contraria o enunciado logo, impossível. hipótese 2- f(x) não é periódica ou é periódica com p1> p: Pelo enunciado: g(x) = g(x+p) = f(x+a+p) + f(x+p) = g(x) = f(x+a) + f(x) => f(x+a+p) + f(x+p)=f(x+a) + f(x) => f(x+a+p) - f(x+a) = f(x) - f(x+p) => f(x) - f(x+p) = - f(x+a) + f(x+a+p) para isso valer para qq x, só se :f(x) - f(x+p) = f(x+a+p) - f(x+a) = 0, logo, f periódica de período p, ou constante. Meio fraco, mas é o que me ocorre por hora... []´s Demétrio ----- Mensagem original ---- De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 13 de Dezembro de 2006 8:36:43 Assunto: [obm-l] Funcoes periodicas Tres questoes: 1. Voce concorda que f:R -> R eh periodica se e somente se existe p > 0 tal que f(x+p) = f(x), para todo x em R? Em caso afirmativo, voce deve concordar que a funcao caracteristica dos racionais (f(x) = 1 se x eh racional e 0 caso contrario) serah periodica, bastando tomar p igual a qualquer racional positivo. 2. Voce ainda mantem sua resposta original para a questao 1? 3. Sejam f:R -> R, g:R -> R, e a pertencente a R tais que: g(x) = f(x+a) + f(x), para todo x em R. Seja p o menor real positivo tal que g(x+p) = g(x), para todo x em R. (ou seja, g eh periodica com periodo fundamental p e evitamos o problema da questao 1) Prove ou de um contra-exemplo: f eh periodica de periodo p. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= _______________________________________________________ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================