Façamos o seguinte, Ulysses:
Queremos que haja pelo menos um par de números consecutivos sorteados. Então
vamos contar os sorteios que não contêm números consecutivos. Para tanto,
consideremos seqüências de 60 dígitos formadas por 54 0's e 6 1's, de tal
maneira que, se o i-ésimo dígito for 0, então o número i não foi sorteado e,
caso cotrário, foi sorteado. Por exemplo:
000010001000.....001
Na seqüência acima, foram sorteados os números 5, 9, 60 etc., pois essas
posições são ocupadas por 1's. Assim, se imaginarmos os 54 0's emparelhados,
temos:
_0_0_0_0_0_..._0_0_0_
Onde os 55 traços _ indicam posições candidatas a serem ocupadas por 6 1's, ou
seja, definem os números sorteados. Logo, podemos selecioná-las de C(55,6)
maneiras. Como o total de sorteios é C(60,6), segue que a probabilidade de não
haver números consecutivos é C(55,6)/C(60,6). Portanto, a probabilidade de
haver números consecutivos é:
1-C(55,6)/C(60,6) que, após algumas manipulações, nos leva à alternativa E.
Um abraço,
Eduardo Estrada
----- Mensagem original ----
De: Ulysses Coelho de Souza Jr. <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 22 de Março de 2008 20:58:56
Assunto: [obm-l] Probabilidades e o Primeiro Lema de Kaplansky
Olá a todos,
A questão abaixo é de um vestibular recente. Acredito
que o examinador quis dizer "pelo menos um par" ao invés de "um
par".
Comentários serão bem-vindos.
No Concurso da Mega-Sena são sorteados
6 números de 01 a 60. Por exemplo, o
concurso
924 teve como números
sorteados
02,20,21,27,51 e 60, ou seja, houve um par
de
números consecutivos, 20 e 21. A
probabilidade
de que no jogo da Mega-Sena haja um par
de
números consecutivos sorteados
é:
(A)
54!/60!
(B)
53!/59!
(C)
1-(56!55!)/(49!60!)
(D)
1-(54!53!)/(48!60!)
(E)
1-(55!54!)/(49!60!)
Um abraço,
Ulysses C. de
Souza.
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