Ruy e demais Interessante o trabalho de seu aluno, Ruy. Parabéns a ambos. Nos hiperconjuntos, a espécie de autoreferência que temos é que, não valendo o axioma da fundação, um conjunto pode pertencer a si mesmo, e por aí a coisa vai, como se sabe. Porém, quando se trata de frases como a do paradoxo do mentiroso, ou a do paradoxo do Walter (que tal?), não me parece ser bem isso que está em jogo. A sentença "Esta sentença é falsa" não é (não me parece ser) algo como um conjunto pertencer a si mesmo. Creio que sem usar contextos intensionais, não saímos do buraco. As tentativas de se usar hiperconjuntos em tais contextos (ainda que eu não domine bem o assunto) me parecem um pouco estranhas. Se o trabalho de seu aluno coloca alguma luz no assunto, deixa de ser meramente interessante!! Abraço, Décio PS. Onde encontrou aquele vídeo do telecurso, Walter? Incrível mesmo.
________________________________ Decio Krause Departamento de Filosofia Universidade Federal de Santa Catarina 88040-940 Florianópolis, SC -- Brasil deciokrause[at]gmail.com www.cfh.ufsc.br/~dkrause ________________________________ "Você não está pensando. Está meramente sendo lógico!" (Bohr para Einstein) Em 05/06/2011, às 11:50, Ruy de Queiroz escreveu: > Caros Walter, Steffen, e demais colegas, > > A incorporação da auto-referência numa teoria da verdade pode ser tratada de > forma bem interessante quando se utiliza os chamados "conjuntos > não-bem-fundados", da teoria de Honsell & Forti, e, posteriormente, Aczel. > > Um aluno meu de doutorado chamado Sérgio da Silva Aguiar, professor da > Universidade Estadual do Oeste da Bahia (em Vitória da Conquista) > desenvolveu uma teoria semântica baseada em "fluxos" ("streams") e o > resultado ficou bem interessante. A tese, intitulada "Uma Análise da > Auto-Referência baseada em Fluxos Semânticos", foi defendida em Março de > 2008. Aqui vai o resumo da tese: > > O objetivo principal desse trabalho é apresentar uma teoria de fluxos > (streams em inglês), que são pares ordenados possivelmente aninhados, capaz > de analisar sentenças (proposições) em geral, incluindo aquelas que > apresentam auto-referência. Desejamos que uma teoria geral, como a teoria > dos conjuntos, possa fundamentá-las. Entretanto, teorias clássicas de > conjuntos como a ZFC controlam auto-referência por meio de um axioma - O > Axioma da Fundação. Por esse motivo fundamentamos nossa semântica numa > teoria mais abrangente desenvolvida por Honsell e Forti (1983) e > aperfeiçoada por Peter Aczel (1988) - A Teoria dos Hiperconjuntos. Na > perspectiva dos hiperconjuntos, estruturas com auto-referência > (circularidade) são admitidas sem problemas. Como desejamos analisar > sentenças, isto é, interpretá-las num certo mundo e avaliá-las, uma das > principais preocupações são os critérios filosóficos do que entendemos como > verdade. Por isso, começamos em nosso primeiro capítulo, fazendo um apanhado > geral das teorias filosóficas da verdade. Afim de compararmos o poder de > interpretação de teorias clássicas com teorias mais modernas como a dos > hiperconjuntos, apresentamos, ainda que muitoresumidamente, os principais > aspectos da teoria dos conjuntos (ZFC) e em seguida falamos sobre > hiperconjuntos, bissimulação e fluxos, cuja compreensão é essencial para a > semântica da linguagem em nossa abordagem. Com essas noções em mãos, > entendemos que podemos analisar proposições tidas como paradoxais. O > principal representante dos paradoxos com auto-referência é o assim chamado > Paradoxo do Mentiroso: Esta sentença é falsa. Algumas linguagens foram > desenvolvidas objetivando dar uma semântica adequada ao paradoxo, mas cadas > uma delas apresentaram problemas e sofreram críticas por apresentarem pontos > fracos sob alguns aspectos tidos como essenciais. Então, apresentamos > algumas abordagens, concebidas para minimizar esses problemas: as abordagens > de Bertrand Russel, Tarski, Kripke, Barwise & Etchemendy e de A. N. Prior. A > nossa abordagem baseou-se principalmente numa afirmação de Prior que "toda > sentença pode ser entendida como uma afirmação de verdade sobre ela mesma". > Entretanto, apresenta também aspectos semelhantes às linguagens > desenvolvidas por Tarski (metalinguagens), Kripke (apelo semântico) e > Barwise & Etchemendy (semântica situacional). Desenvolvemos uma linguagem > que pode acomodar sentenças em geral, inclusive as que apresentam > auto-referência. Alguns problemas apresentados em abordagens multivaloradas > foram resolvidos, pois o nosso sistema não apresenta mais do que dois > valores para avaliação. Problemas de linguagens puramente sintáticas também > foram sanados, pois a nossa estrutura não é baseada apenas em aspectos > sintáticos e possui ponto fixo. Com isso acreditamos que, sem perdermos > intuição, ganhamos poder de interpretação. Acreditamos também que uma prova > pode ser interpretada como sendo um fluxo semântico, pois é nada mais que > uma seqüência de proposições adequadamente encadeadas. Sendo assim, no > último capítulo falamos sobre provas diretas e provas por absurdo. Um > resultado interessante é que a interpretação de provas por absurdo dá origem > a um objeto potencialmente infinito bissimilar à sentença do Mentiroso. > > > Um abraço, > > Ruy > > > Em 5 de junho de 2011 07:42, Walter Carnielli > <walter.carnie...@gmail.com>escreveu: > >> Caros: >> >> o Steffen Lewitzka tem razão, assim como bem apontaram para o >> ponto a Andrea Loparic, o Décio Krause e o Marcelo Finger. >> >> É claro (acho importante esclarecer isso aos estudantes que nos lêm >> nesta lista) que nem a minha, nem a do Steffen, são >> "demonstrações " de coisa nenhuma. À parte o ponto que levantei , >> sobre a noção de prova não excluir universalidade (e a este >> respeito as "provas" aí se parecem mais com o Paradoxo de Curry) >> o ponto central desse tipo de argumento são as sentenças >> auto-referentes em relação à sua própria verdade (não apenas >> inocentemente "auto-referentes", como "meu nome é Fulano" se sou >> Fulano) . >> >> Uma das tarefas essenciais das diversas teorias da verdade que >> temos à disposição é dar um tratamento adequado a este tipo de >> sentença sem estragar o resto. >> >> Um tratamento assim aparece na, chamada teoria da verdade de >> Kripke-Feferman, pela qual as sentenças desse tipo não são nem V >> nem F (e nesse ponto é uma teoria parcial da verdade). Acho que as >> melhores referencias são: >> >> Feferman, S.,Reflecting on Incompleteness. Journal of Symbolic Logic, >> 56: 1–49, 1991 >> >> Feferman, S. Axioms for Determinateness and Truth. Review of Symbolic >> Logic, 1: 204–217, 2008 >> >> Por exemplo, a teoria de Kripke-Feferman, prova, a respeito da >> sentença do Mentiroso, que nem ela nem sua negação são verdadeiras. >> A sentença (C) que eu proponho, ou a (D) que o Steffen propõe, >> cairiam nessa categoria, e dessa forma, numa teoria da verdade >> não-ingênua, nem a minha "demonstração" nem a dele seriam corretas. >> >> Abs, >> >> Walter >> >> >> >> >> >> Em 4 de junho de 2011 20:36, Steffen Lewitzka <steffenlewit...@web.de> >> escreveu: >>> >>> Prezados, >>> >>> gostaria de apresentar um argumento que tal vez sirva para responder a >> pergunta do Prof. Walter Carnielli. Antes disso, vou apresentar uma "prova" >> ainda mais curta para P =/= NP. Aqui vem: >>> >>> "Se esta proposição é verdadeira, então P =/= NP." >>> >>> Q.E.D. :-) >>> >>> ou um pouco mais formal: >>> >>> (D) Se a proposição (D) é verdadeira, então P =/= NP. >>> >>> ou equivalentemente: >>> >>> (D) (D) é falso ou P =/= NP. >>> >>> Note que a proposição (D) não pode ser falsa: se for falsa, então seria >> verdadeira, um paradoxo ! Portanto, (D) é necessáriamente verdadeira. Logo P >> =/= NP. >>> Ok, qual é o problema aqui? Acredito que não se trata de nenhuma "prova" >> mas de um problema de satisfatibilidade de uma equação que define uma >> proposição auto-referente: Podemos definir (D) através da seguinte equação: >>> >>> x = ((x is true) \rightarrow y) >>> >>> onde, no nosso caso, a variável y denota a proposição "P =/= NP", e a >> variável x denota a proposição (D) (como elementos de um universo de >> proposições). Essa equação lembra o Paradoxo de Loeb. Mas este somente é um >> paradoxo, se y denota uma proposição falsa. Se y denota uma proposição >> verdadeira, então a proposição auto-referente denotada por x é >> necessariamente verdadeira - e não temos problemas. Desta forma, podemos >> reduzir a questão a um problema de solução de equações. A equação acima é >> satisfatível (ou solúvel) se e somente se y denota qualquer proposição >> verdadeira. Isto é, a veracidade de y é uma premissa necessária (para evitar >> um paradoxo) !! Mas isto não constitui uma demonstraçao para y. >>> Da mesma forma, a proposição auto-referente (C), dada pelo Prof. >> Carnielli, pode ser definida pela seguinte equação: >>> >>> x = [[(y is true) or (B is true) or (x is true)] and [(y is false) or >> (B is false)] and [(y is false) or (x is false)] and [(B is false) >> or (x is false)]] >>> >>> Como a constante B denota uma proposição verdadeira (uma tautologia), >> podemos verificar que esta equação é satisfeita se e somente se a variável x >> denota uma proposição falsa (C) e a variável y denota qualquer proposição >> verdadeira. Logo, temos que escolher para y uma proposião que já foi provada >> como verdadeira. E esta não pode ser "P =/= NP". >>> Correto? >>> >>> Saudações, >>> Steffen >>> >>> >>> >>>> Message: 2 >>>> Date: Fri, 3 Jun 2011 05:53:47 -0300 >>>> From: Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com> >>>> To: logica-l@dimap.ufrn.br >>>> Subject: [Logica-l] A mais curta demonstra??o de que P =/= NP >>>> Message-ID: <BANLkTi=s0Bjo29GKGfMMKbOGq=9=ili...@mail.gmail.com> >>>> Content-Type: text/plain; charset=windows-1252 >>>> >>>> ================================== >>>> Teorema: P =/= NP >>>> >>>> Prova> >>>> >>>> Considere, conjuntivamente as seguintes asser??es: >>>> >>>> (A) P =/= NP >>>> >>>> (B) Se P =/= NP ent?o NP =/= P >>>> >>>> (C) Exatamente uma destas tr?s asser??es ? verdadeira. >>>> >>>> ? claro que (B) ? verdadeira, e que (C) n?o pode ser verdadeira >>>> (caso contr?rio, haveria pelo menos duas asser??es verdadeiras). >>>> >>>> Portanto (C) ? falsa, e da? n?o ? o caso que *exatamente* uma das >>>> tr?s asser??es seja verdadeira. Em consequ?ncia, ou nenhuma delas ? >>>> verdadeira (o que n?o ? o caso, pois pelo menos (B) ? >>>> verdadeira), ou duas delas s?o verdadeiras, a saber, (A) e (B). >>>> >>>> Portanto P =/= NP. >>>> >>>> ============================== >>>> >>>> O que est? errado com este racioc?nio? A ?nica cr?tica ? que >>>> este argumento ? universal, ou seja, prova-se qualquer coisa >>>> em lugar de (A). Mas por acaso alguma no?ao de demosnstra?ao >>>> exclui uma tal; "trivialidade demonstrativa"? >>>> >>>> Abs, >>>> >>>> Walter >>>> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ >>>> Prof. Dr. Walter Carnielli >>>> Director >>>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science ? CLE >>>> State University of Campinas ?UNICAMP >>>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil >>>> Phone: (+55) (19) 3521-6517 >>>> Fax: (+55) (19) 3289-3269 >>>> e-mail: walter.carnie...@cle.unicamp.br >>>> Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli >>>> >>>> >>> ******************************** >>> _______________________________________________ >>> Logica-l mailing list >>> Logica-l@dimap.ufrn.br >>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >>> >> >> >> >> -- >> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ >> Prof. Dr. Walter Carnielli >> Director >> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science – CLE >> State University of Campinas –UNICAMP >> 13083-859 Campinas -SP, Brazil >> Phone: (+55) (19) 3521-6517 >> Fax: (+55) (19) 3289-3269 >> e-mail: walter.carnie...@cle.unicamp.br >> Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli >> _______________________________________________ >> Logica-l mailing list >> Logica-l@dimap.ufrn.br >> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >> > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > Logica-l@dimap.ufrn.br > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l _______________________________________________ Logica-l mailing list Logica-l@dimap.ufrn.br http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l