Ruy e demais
Interessante o trabalho de seu aluno, Ruy. Parabéns a ambos.
Nos hiperconjuntos, a espécie de autoreferência que temos é que, não valendo o
axioma da fundação, um conjunto pode pertencer a si mesmo, e por aí a coisa
vai, como se sabe. Porém, quando se trata de frases como a do paradoxo do
mentiroso, ou a do paradoxo do Walter (que tal?), não me parece ser bem isso
que está em jogo. A sentença "Esta sentença é falsa" não é (não me parece ser)
algo como um conjunto pertencer a si mesmo. Creio que sem usar contextos
intensionais, não saímos do buraco. As tentativas de se usar hiperconjuntos em
tais contextos (ainda que eu não domine bem o assunto) me parecem um pouco
estranhas. Se o trabalho de seu aluno coloca alguma luz no assunto, deixa de
ser meramente interessante!!
Abraço,
Décio
PS. Onde encontrou aquele vídeo do telecurso, Walter? Incrível mesmo.
________________________________
Decio Krause
Departamento de Filosofia
Universidade Federal de Santa Catarina
88040-940 Florianópolis, SC -- Brasil
deciokrause[at]gmail.com
www.cfh.ufsc.br/~dkrause
________________________________
"Você não está pensando. Está meramente sendo lógico!"
(Bohr para Einstein)
Em 05/06/2011, às 11:50, Ruy de Queiroz escreveu:
> Caros Walter, Steffen, e demais colegas,
>
> A incorporação da auto-referência numa teoria da verdade pode ser tratada de
> forma bem interessante quando se utiliza os chamados "conjuntos
> não-bem-fundados", da teoria de Honsell & Forti, e, posteriormente, Aczel.
>
> Um aluno meu de doutorado chamado Sérgio da Silva Aguiar, professor da
> Universidade Estadual do Oeste da Bahia (em Vitória da Conquista)
> desenvolveu uma teoria semântica baseada em "fluxos" ("streams") e o
> resultado ficou bem interessante. A tese, intitulada "Uma Análise da
> Auto-Referência baseada em Fluxos Semânticos", foi defendida em Março de
> 2008. Aqui vai o resumo da tese:
>
> O objetivo principal desse trabalho é apresentar uma teoria de fluxos
> (streams em inglês), que são pares ordenados possivelmente aninhados, capaz
> de analisar sentenças (proposições) em geral, incluindo aquelas que
> apresentam auto-referência. Desejamos que uma teoria geral, como a teoria
> dos conjuntos, possa fundamentá-las. Entretanto, teorias clássicas de
> conjuntos como a ZFC controlam auto-referência por meio de um axioma - O
> Axioma da Fundação. Por esse motivo fundamentamos nossa semântica numa
> teoria mais abrangente desenvolvida por Honsell e Forti (1983) e
> aperfeiçoada por Peter Aczel (1988) - A Teoria dos Hiperconjuntos. Na
> perspectiva dos hiperconjuntos, estruturas com auto-referência
> (circularidade) são admitidas sem problemas. Como desejamos analisar
> sentenças, isto é, interpretá-las num certo mundo e avaliá-las, uma das
> principais preocupações são os critérios filosóficos do que entendemos como
> verdade. Por isso, começamos em nosso primeiro capítulo, fazendo um apanhado
> geral das teorias filosóficas da verdade. Afim de compararmos o poder de
> interpretação de teorias clássicas com teorias mais modernas como a dos
> hiperconjuntos, apresentamos, ainda que muitoresumidamente, os principais
> aspectos da teoria dos conjuntos (ZFC) e em seguida falamos sobre
> hiperconjuntos, bissimulação e fluxos, cuja compreensão é essencial para a
> semântica da linguagem em nossa abordagem. Com essas noções em mãos,
> entendemos que podemos analisar proposições tidas como paradoxais. O
> principal representante dos paradoxos com auto-referência é o assim chamado
> Paradoxo do Mentiroso: Esta sentença é falsa. Algumas linguagens foram
> desenvolvidas objetivando dar uma semântica adequada ao paradoxo, mas cadas
> uma delas apresentaram problemas e sofreram críticas por apresentarem pontos
> fracos sob alguns aspectos tidos como essenciais. Então, apresentamos
> algumas abordagens, concebidas para minimizar esses problemas: as abordagens
> de Bertrand Russel, Tarski, Kripke, Barwise & Etchemendy e de A. N. Prior. A
> nossa abordagem baseou-se principalmente numa afirmação de Prior que "toda
> sentença pode ser entendida como uma afirmação de verdade sobre ela mesma".
> Entretanto, apresenta também aspectos semelhantes às linguagens
> desenvolvidas por Tarski (metalinguagens), Kripke (apelo semântico) e
> Barwise & Etchemendy (semântica situacional). Desenvolvemos uma linguagem
> que pode acomodar sentenças em geral, inclusive as que apresentam
> auto-referência. Alguns problemas apresentados em abordagens multivaloradas
> foram resolvidos, pois o nosso sistema não apresenta mais do que dois
> valores para avaliação. Problemas de linguagens puramente sintáticas também
> foram sanados, pois a nossa estrutura não é baseada apenas em aspectos
> sintáticos e possui ponto fixo. Com isso acreditamos que, sem perdermos
> intuição, ganhamos poder de interpretação. Acreditamos também que uma prova
> pode ser interpretada como sendo um fluxo semântico, pois é nada mais que
> uma seqüência de proposições adequadamente encadeadas. Sendo assim, no
> último capítulo falamos sobre provas diretas e provas por absurdo. Um
> resultado interessante é que a interpretação de provas por absurdo dá origem
> a um objeto potencialmente infinito bissimilar à sentença do Mentiroso.
>
>
> Um abraço,
>
> Ruy
>
>
> Em 5 de junho de 2011 07:42, Walter Carnielli
> <walter.carnie...@gmail.com>escreveu:
>
>> Caros:
>>
>> o Steffen Lewitzka tem razão, assim como bem apontaram para o
>> ponto a Andrea Loparic, o Décio Krause e o Marcelo Finger.
>>
>> É claro (acho importante esclarecer isso aos estudantes que nos lêm
>> nesta lista) que nem a minha, nem a do Steffen, são
>> "demonstrações " de coisa nenhuma. À parte o ponto que levantei ,
>> sobre a noção de prova não excluir universalidade (e a este
>> respeito as "provas" aí se parecem mais com o Paradoxo de Curry)
>> o ponto central desse tipo de argumento são as sentenças
>> auto-referentes em relação à sua própria verdade (não apenas
>> inocentemente "auto-referentes", como "meu nome é Fulano" se sou
>> Fulano) .
>>
>> Uma das tarefas essenciais das diversas teorias da verdade que
>> temos à disposição é dar um tratamento adequado a este tipo de
>> sentença sem estragar o resto.
>>
>> Um tratamento assim aparece na, chamada teoria da verdade de
>> Kripke-Feferman, pela qual as sentenças desse tipo não são nem V
>> nem F (e nesse ponto é uma teoria parcial da verdade). Acho que as
>> melhores referencias são:
>>
>> Feferman, S.,Reflecting on Incompleteness. Journal of Symbolic Logic,
>> 56: 1–49, 1991
>>
>> Feferman, S. Axioms for Determinateness and Truth. Review of Symbolic
>> Logic, 1: 204–217, 2008
>>
>> Por exemplo, a teoria de Kripke-Feferman, prova, a respeito da
>> sentença do Mentiroso, que nem ela nem sua negação são verdadeiras.
>> A sentença (C) que eu proponho, ou a (D) que o Steffen propõe,
>> cairiam nessa categoria, e dessa forma, numa teoria da verdade
>> não-ingênua, nem a minha "demonstração" nem a dele seriam corretas.
>>
>> Abs,
>>
>> Walter
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 4 de junho de 2011 20:36, Steffen Lewitzka <steffenlewit...@web.de>
>> escreveu:
>>>
>>> Prezados,
>>>
>>> gostaria de apresentar um argumento que tal vez sirva para responder a
>> pergunta do Prof. Walter Carnielli. Antes disso, vou apresentar uma "prova"
>> ainda mais curta para P =/= NP. Aqui vem:
>>>
>>> "Se esta proposição é verdadeira, então P =/= NP."
>>>
>>> Q.E.D. :-)
>>>
>>> ou um pouco mais formal:
>>>
>>> (D) Se a proposição (D) é verdadeira, então P =/= NP.
>>>
>>> ou equivalentemente:
>>>
>>> (D) (D) é falso ou P =/= NP.
>>>
>>> Note que a proposição (D) não pode ser falsa: se for falsa, então seria
>> verdadeira, um paradoxo ! Portanto, (D) é necessáriamente verdadeira. Logo P
>> =/= NP.
>>> Ok, qual é o problema aqui? Acredito que não se trata de nenhuma "prova"
>> mas de um problema de satisfatibilidade de uma equação que define uma
>> proposição auto-referente: Podemos definir (D) através da seguinte equação:
>>>
>>> x = ((x is true) \rightarrow y)
>>>
>>> onde, no nosso caso, a variável y denota a proposição "P =/= NP", e a
>> variável x denota a proposição (D) (como elementos de um universo de
>> proposições). Essa equação lembra o Paradoxo de Loeb. Mas este somente é um
>> paradoxo, se y denota uma proposição falsa. Se y denota uma proposição
>> verdadeira, então a proposição auto-referente denotada por x é
>> necessariamente verdadeira - e não temos problemas. Desta forma, podemos
>> reduzir a questão a um problema de solução de equações. A equação acima é
>> satisfatível (ou solúvel) se e somente se y denota qualquer proposição
>> verdadeira. Isto é, a veracidade de y é uma premissa necessária (para evitar
>> um paradoxo) !! Mas isto não constitui uma demonstraçao para y.
>>> Da mesma forma, a proposição auto-referente (C), dada pelo Prof.
>> Carnielli, pode ser definida pela seguinte equação:
>>>
>>> x = [[(y is true) or (B is true) or (x is true)] and [(y is false) or
>> (B is false)] and [(y is false) or (x is false)] and [(B is false)
>> or (x is false)]]
>>>
>>> Como a constante B denota uma proposição verdadeira (uma tautologia),
>> podemos verificar que esta equação é satisfeita se e somente se a variável x
>> denota uma proposição falsa (C) e a variável y denota qualquer proposição
>> verdadeira. Logo, temos que escolher para y uma proposião que já foi provada
>> como verdadeira. E esta não pode ser "P =/= NP".
>>> Correto?
>>>
>>> Saudações,
>>> Steffen
>>>
>>>
>>>
>>>> Message: 2
>>>> Date: Fri, 3 Jun 2011 05:53:47 -0300
>>>> From: Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>
>>>> To: logica-l@dimap.ufrn.br
>>>> Subject: [Logica-l] A mais curta demonstra??o de que P =/= NP
>>>> Message-ID: <BANLkTi=s0Bjo29GKGfMMKbOGq=9=ili...@mail.gmail.com>
>>>> Content-Type: text/plain; charset=windows-1252
>>>>
>>>> ==================================
>>>> Teorema: P =/= NP
>>>>
>>>> Prova>
>>>>
>>>> Considere, conjuntivamente as seguintes asser??es:
>>>>
>>>> (A) P =/= NP
>>>>
>>>> (B) Se P =/= NP ent?o NP =/= P
>>>>
>>>> (C) Exatamente uma destas tr?s asser??es ? verdadeira.
>>>>
>>>> ? claro que (B) ? verdadeira, e que (C) n?o pode ser verdadeira
>>>> (caso contr?rio, haveria pelo menos duas asser??es verdadeiras).
>>>>
>>>> Portanto (C) ? falsa, e da? n?o ? o caso que *exatamente* uma das
>>>> tr?s asser??es seja verdadeira. Em consequ?ncia, ou nenhuma delas ?
>>>> verdadeira (o que n?o ? o caso, pois pelo menos (B) ?
>>>> verdadeira), ou duas delas s?o verdadeiras, a saber, (A) e (B).
>>>>
>>>> Portanto P =/= NP.
>>>>
>>>> ==============================
>>>>
>>>> O que est? errado com este racioc?nio? A ?nica cr?tica ? que
>>>> este argumento ? universal, ou seja, prova-se qualquer coisa
>>>> em lugar de (A). Mas por acaso alguma no?ao de demosnstra?ao
>>>> exclui uma tal; "trivialidade demonstrativa"?
>>>>
>>>> Abs,
>>>>
>>>> Walter
>>>> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++
>>>> Prof. Dr. Walter Carnielli
>>>> Director
>>>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science ? CLE
>>>> State University of Campinas ?UNICAMP
>>>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil
>>>> Phone: (+55) (19) 3521-6517
>>>> Fax: (+55) (19) 3289-3269
>>>> e-mail: walter.carnie...@cle.unicamp.br
>>>> Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli
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