> Eu acho que aí o seu último comentário tem um pequeno detalhe: o que é
> substituir um axioma por uma regra? Eu sei intuitivamente o que é relacionar
> axiomas e regras, mas não sei o que seria substituir uns pelos outros. Você
> teria uma definição em mente?
Não tenho, Tony, eu baseei meu comentário simplesmente na "definição"
proposta pelo Luis, que menciona em sua mensagem a "relação direta" ou
a "correspondência" entre axiomas e regras de derivação, em particular
entre (AX1) e (RD1).
Posso, claro, simplesmente ter entendido mal o que disse o Luis, ou o
que disse o Walter, ou o que você tem dito.
JM
> Em 24 de dezembro de 2012 15:27, Joao Marcos <botoc...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Viva, Luis:
>>
>> > O "if, ..., then..." usado por Russel & Whitehead no Principia
>> > geralmente
>> > refere à relação de entailment - não a um condicional. Isso é mostrado
>> > por
>> > Sanford no seu livro *If P than Q: Conditional and The Foundations of
>> > Reasoning*. Parece que o trabalho de R&W não é muito preciso em
>> > distinguir
>> > entailment de condicionais, em que o primeiro conceito refere a uma
>> > relação
>> > entre sentenças (ou proposições), e o segundo refere a um conectivo que
>> > faz
>> > parte de uma sentença (ou proposição).
>>
>> Com efeito, boa parte da literatura filosófica até os dias de hoje
>> parece revelar a mesma dificuldade... Um dos resultados disto é uma
>> supervalorização absurda do conceito de *teoremas* (frequentemente
>> expressos com o auxílio de condicionais), em detrimento da noção de
>> *inferência* (expressa com o uso da noção de entailment). R&W não
>> tinham nada disso claro, assim como não tinham claro, obviamente, a
>> própria ideia de completude forte de um sistema dedutivo.
>>
>> > Veja essa distinção com uma certa importância para a distinção relevante
>> > entre axiomas e regras de derivação. Axiomas são sentenças com
>> > determinados
>> > conectivos, e regras de derivação podem ser precisamente expostas por
>> > meio
>> > do sinal de acarretamento. Parece que todo axiomas pode dar origem a uma
>> > regra de inferência (com o conjunto vazio de premissas); mas nem toda
>> > regra
>> > de inferência pode dar origem a um axioma (embora toda regra de
>> > inferência
>> > possa dar origem a um teorema) - em que os axiomas que podem ser
>> > mostrados
>> > como tendo alguma relação direta com regras de inferência são sentenças
>> > condicionais. Assim,
>> >
>> > (AX1) p->p
>> >
>> > é um axioma que corresponde à regra de derivação expressa por
>> >
>> > (RD1) p |- p
>> >
>> > Que lhes parece?
>>
>> Se você trocar todos os axiomas implicativos usuais à la
>> Hilbert-Bernays por regras de derivação, o *metateorema da dedução*
>> pode de fato se tornar problemático: de fato, ele é demonstrável sobre
>> o sistema intuicionista/clássico proposicional por indução sobre a
>> construção das derivações em sistemas nos quais *modus ponens é a
>> única regra de inferência*. Se você acrescentar novas regras (como a
>> regra de generalização típica das lógicas de primeira ordem, ou a
>> regra de necessitação típica das lógicas modais mais conhecidas),
>> parte do passo indutivo da demonstração do metateorema da dedução pode
>> falhar.
>>
>> O equívoco de pensar que axiomas podem ser *substituídos* por regras
>> de derivação sem prejuízo do sistema dedutivo subjacente é fácil de se
>> cometer (as regras certamente são derivadas dos axiomas usando modus
>> ponens, mas o contrário pode não ocorrer, caso não se possa garantir
>> de alguma forma a validade do metateorema da dedução). Eu próprio o
>> cometi em um artigo de referência ("A Taxonomy of C-systems") que
>> escrevi com o Walter.
>>
>> Abraços,
>> Joao Marcos
>>
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