Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to Modal Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que tenho sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais sistemas (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!).
Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): *Sobre o sistema K*. H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an axiom. *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus ponens, e a regra da necessitação: *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* *Sobre o sistema T*. H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do seguinte teorema ao sistema K: *T* *Lp *É* p*, de tal modo que T = K + *T*. O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). Informalmente, diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si mesmos. Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que *p *É *Lp* * * não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame reflexivo em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em que *p * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação que chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou enganado? what am I missing?). Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as regras de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os teoremas de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os teoremas de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o sistema T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não deveria admitir a regra *N*). Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem problema se tiverem preguiça de ler =]) Obrigado, e abraço a todos! -- *Luis Rosa * @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> _______________________________________________ Logica-l mailing list Logica-l@dimap.ufrn.br http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
