Andrea: claro, pois no sistema K *só se deriva teoremas*, e não proposições que são verdadeiras em um modelo e falsa em outro. Um colega da lista havia feito uma observação similar em correio particular, e notava que se *p* é uma fórmula contingente, então o consequente *Lp* pode ser falso em um modelo em que *p* é verdadeiro.
Obrigado pelo esclarecimento e por ajudar um *newbie *em lógica modal. Abraço, LR 2013/1/3 Andrea Loparic <alopa...@gmail.com> > Prezado Luis, > > Creio que sua dúvida será esclarecida se partirmos da > diferença entre dois usos corriqueiros das derivações: > > a) provas de teoremas > b) deduções a partir de um conjunto de hipóteses. > > Os sistemas de H&C são apresentados no modelo a). > Ora o modelo a) é um caso particular do b) - quando > o conjunto de hipóteses é vazio. A regra de necessitação > no modelo a) é perfeitamente correta pois se A é uma > fórmula válida de K, ela será verdadeira em todos os > mundos de um modelo qualquer; logo, o mesmo se dará > com sua necessitação. > > Se, no entanto, estivermos trabalhando com derivações > a partir de hipóteses, para que o teorema da dedução > possa valer, será preciso formular a regra da necessitação > da seguinte maneira: de A derivar LA, desde que exista > na sequência dedutiva precedente uma subsequência que > é uma prova de A ( ou seja, a necessitação pode ser > aplicada a teoremas, .mas não a fórmulas que dependam de > meras hipóteses. > Desse modo, A > LA não se prova em K a não ser que A > seja um teorema de K. > > UM abraço, > Andrea > Em 3 de janeiro de 2013 17:31, Luis Rosa <fso...@gmail.com> escreveu: > > Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, > > conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to > Modal > > Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que > tenho > > sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais > sistemas > > (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!). > > > > Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o > > condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um > > conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): > > > > *Sobre o sistema K*. > > H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: > > > > *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an > axiom. > > *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), > > > > e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da > > substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus > > ponens, e a regra da necessitação: > > > > *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* > > > > *Sobre o sistema T*. > > H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do > > seguinte teorema ao sistema K: > > > > *T* *Lp *É* p*, > > > > de tal modo que T = K + *T*. > > > > O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação > > reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). Informalmente, > > diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si > mesmos. > > > > Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que > > > > *p *É *Lp* > > * > > * > > não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame > reflexivo > > em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em > que *p > > * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde > > cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação > que > > chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou > > enganado? what am I missing?). > > > > Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as > regras > > de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de > > axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de > > todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os > teoremas > > de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os > teoremas > > de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os > > autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o > sistema > > T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não > > deveria admitir a regra *N*). > > > > Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem > problema > > se tiverem preguiça de ler =]) > > Obrigado, e abraço a todos! > > > > > > -- > > *Luis Rosa * > > @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes > > <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> > > FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> > > Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> > > Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> > > _______________________________________________ > > Logica-l mailing list > > Logica-l@dimap.ufrn.br > > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l > -- *Luis Rosa * @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> _______________________________________________ Logica-l mailing list Logica-l@dimap.ufrn.br http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
