Prezados,
Amanhã (sexta 11/05, às 14h50, na sala 219 do PAF-I/Campus Ondina, Salvador),
retomando as atividades do Seminário de Lógica da UFBA,
apresentarei a palestra de título e resumo abaixo.
Essa mesma palestra será apresentada no IME/USP em São Paulo na sexta-feira
seguinte, dia 18/05, às 16hs, Sala 132 do Bloco A.
Atés,
[]s Samuel
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Título: Sobre partições impressionantes e anti-intuitivas (ou: o Axioma da
Escolha não tem culpa de nada)
Resumo: Uma das consequências mais anti-intuitivas do Axioma da Escolha (talvez
a mais célebre delas) é o Paradoxo de Banach-Tarski, no qual demonstra-se que
uma bola fechada ``sólida'' no espaço euclidiano R^3 pode ser decomposta em um
número finito de subconjuntos os quais, quando rearranjados de uma certa forma,
usando apenas movimentos rígidos, acabam produzindo duas bolas fechadas
idênticas à original. Variações desse mesmo teorema podem ser enunciadas de
maneira ainda mais impressionante ("podemos cortar uma laranja em finitos
pedaços e usá-los para construir uma bola do tamanho do Sol, usando apenas
movimentos rígidos"). Obviamente, os pedaços da laranja em questão seriam
não-mensuráveis - assim, o Paradoxo do Banach-Tarski pode ser entendido como
uma demonstração alternativa para o bastante conhecido fato de que o Axioma da
Escolha produz, facilmente, subconjuntos não-mensuráveis em um espaço
euclidiano. Devido aos referidos aspectos anti-intuitivos, o Paradoxo de
Banach-Tarski é frequentemente usado em argumentos contra a aceitação do Axioma
da Escolha. Nesta palestra, veremos que o aparente desejo desses pesquisadores
contrários (o qual, aparentemente, seria desprezar o Axioma da Escolha para
poder então considerar modelos nos quais todos os subconjuntos de um dado
espaço euclidiano fossem Lebesgue-mensuráveis) também produz resultados *muito*
anti-intuitivos no que se refere a decomposições de conjuntos - de modo que o
Axioma da Escolha não deve ser considerado o único culpado no que se refere a
situações completamente anti-intuitivas envolvendo partições ! Por exemplo,
mostraremos no seminário que: se todos os subconjuntos da reta fossem
Lebesgue-mensuráveis, então poderíamos decompor a reta em estritamente *mais*
do que 2^{aleph_0} subconjuntos disjuntos e não-vazios (!!!). Por aparecer como
uma espécie de denominador comum em uma série de construções, aproveitaremos a
oportunidade para discutir o chamado Princípio da Partição - que é uma
consequência imediata do Axioma da Escolha para a qual a pergunta natural no
contexto (``Será que esse princípio é, na verdade, equivalente ao Axioma da
Escolha ?'') constitui-se num dos mais antigos (e ainda em aberto) problemas
desse tipo na literatura.
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