Oi gente,
Só pra dar um "pitaco",
A prova do Teorema de Cantor não precisa ser por contradição, na verdade
quando escolhemos o contradomínio como {0,1} acredito que já estamos
embutindo aí possivelmente o Terceiro Excluído quase todo e dá pra fazer
uma prova "quase direta", vai ter só uma análise de casos.
Ou seja, depois de muitos anos fazendo isso com alunos eu não começo com
"Suponha por absurdo que eu tenha uma enumeração de todas as sequências
binárias infinitas"
e sim com
"Considere qualquer funcao fixada dos naturais nas sequências binárias
infinitas, eu vou mostrar que essa função não é sobrejetora"
pois se não existir funcao sobrejetora, em particular nao vai existir
bijecao...
(Aliás, aqui que é o ponto que eu acho que é o mais problemático de "querer
prever quem está na diagonal fazendo uma enumeração
esperta", o teorema não fala de enumerações espertas, o teorema fala de
TODAS AS ENUMERAÇÕES POSSÍVEIS, ou seja, para
qualquer enumeração que você faça tem uma sequência que não aparece na
lista. Eu particularmente não vejo interesse
em ver o que ocorre com uma enumeração fixada, eu quero saber o que ocorre
para qualquer uma arbitrária)
Ao invés de fazer a tal prova (que eu acho um pouco mais construtiva) para
sequências infinitas de zeros e uns, vou fazer a prova para X e Partes de
(X), para qualquer conjunto X (que não precisa ser enumerável, nao precisa
ser N, nao preciso pensar em números reais...). Claro que se você pega
X = N aqui você identifica Partes de N com as sequencias infinitas de zeros
e uns e cai no caso anterior, mas isso é outra história...
Teorema: Dado um conjunto X e uma funcao qualquer de X em Partes de X, essa
funcao nao é sobrejetora.
dem. Seja f: X --> Partes de X uma funcao qualquer.
Afirmo que Y = {x em X: x não pertence a f(x)} não está na imagem da função.
Aqui não vou supor por absurdo que Y é f de alguém e chegar numa
contradição, o que eu faço é afirmar:
*Dado qualquer x em X, f(x) é diferente de Y.*
Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído",
concordo...)
Se x pertence a f(x), entao x não pertence a Y.
Se x não pertence a f(x), entao x pertence a Y.
Logo, para todo x, eu uso ele mesmo para mostrar que f(x) e Y são
diferentes (de um jeito ou de outro, conforme o caso).
Atés,
[]s Samuel
Em quinta-feira, 4 de março de 2021 às 16:00:40 UTC-4, Joao Marcos escreveu:
> > Meu ponto (ao menos um deles) é que ao escolhermos uma enumeração
> específica podemos determinar a sequência que não faz parte da enumeração.
> > Isso ainda me parece ser verdadeiro. Mas isso não me leva a nenhuma
> outra conclusão.
>
> Bem, para avaliar tal asserção seria necessário determinar o
> significado do verbo "determinar". Dependendo do que você quer dizer
> com isso, a sua primeira sentença acima pode ser verdadeira... ou,
> mais provavelmente, falsa! (Note, por exemplo, que o _complemento_ do
> conjunto que contém os números da sua sequência não é um conjunto
> enumerável.)
>
> JM
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