RESPONDENDO o PROBLEMA EXTRA: Seja sen(2A) = k-x sen(2B) = k sen(2C) = k+x
tg(A+B) - tg(A+C) = sen(A+B)/cos(A+B) - sen(A+C)/cos(A+C) = [sen(A+B)cos(A+C) - sen(A+C)cos(A+B)]/cos(A+B)cos(A+C) = sen(B-C)/cos(A+C)cos(A+B) Da mesma maneira encontramos: tg(A+C) - tg(B+C) = sen(A-B)/cos(A+C)cos(B+C) Entao [tg(A+C) - tg(B+C)] / [tg(A+B) - tg(A+C)] = = sen(A-B)cos(A+B)/sen(B-C)cos(B+C) É bem sabido que sen m - sen p = 2 sen[(m-p)/2] cos[(m+p)/2] Fazendo m=2A, p=2B e q=2C, vem: sen(A-B)cos(A+B) = (sen2A - sen2B)/2 e sen(B-C)cos(B+C) = (sen2B - sen2C)/2 Mas sen2A - sen2B = k - x - k = -x e sen2B - sen2C = k - (k+x) = -x Logo [tg(A+C) - tg(B+C)] / [tg(A+B) - tg(A+C)] = (-x/2)/(-x/2) =1 Daí vem: tg(A+C) - tg(B+C) = tg(A+B) - tg(A+C), o que garante que: tg(B+C), tg(A+C) e tg(A+B) estao em PA nessa ordem, c.q.d. ----- Original Message ----- From: "Alexandre Tessarollo" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Terça-feira, 9 de Outubro de 2001 01:03 Terezan Subject: Re: ajuda em um problema e Extra > harold wrote: > > seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto > de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, > BC,CDe DA > são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é > circunscrítivel a um círculo com centro em I. Projeções de QUEM sobre os lados? Tentei projetar I e a afirmação tornou-se falsa (leia-se achei diversos contra-exemplos). Fiz o mesmo com O e tampouco funcionou... Seja claro e específico, plz. []'s Alexandre Tessarollo PS: Aproveitando a deixa, passo mais um: Sabendo que sen 2A, sen 2B e sen 2C estão em PA nessa ordem, demonstrar que tan (B+C), tan (C+A) e tan (A+B) também estão em PA nessa ordem.