On Fri, Jun 21, 2002 at 02:32:34AM +0000, Rogerio Fajardo wrote: > Aproveitando que o assunto é axiomas de peano, é possível definir aritmética > usando só os axiomas de peano (usando lógica de 1ªordem e os símbolos 0 e > sucessor de)? Dá pra fazer uma espécie de teorema da recursão nos axiomas de > Peano? Ou será necessário usar lógica de segunda ordem, ou esquema de prova?
Boa pergunta. O seguinte é um modelo para os axiomas de Peano apenas com o conceito de sucessor e apenas com lógica de primeira ordem: {0, 1, 2, ...,..., w - 2, w - 1, w, w + 1, w + 2, ...} Mais, valem neste modelo exatamente os mesmos enunciados de lógica de primeira ordem (ressaltando, se a linguagem tiver apenas o conceito de sucessor). A coisa muda totalmente de figura se + e * fizerem parte da linguagem, junto com os axiomas: para todo n, n + 0 = n para todo n e m, n + s(m) = s(n + m) para todo n, n * 0 = 0 para todo n e m, n * s(m) = (n * m) + n Aí fica muito mais difícil (mas, por Gödel e Lowenheim-Skolem, ainda possível) obter modelos estranhos. Para quem não está entendendo, o último axioma de Peano é freqüentemente fraseado assim: Se X é um subconjunto de N com 0 pertencente a X e com s(X) contido em X então X = N. Este axioma pressupõe o conceito de conjunto, ou seja, pressupõe uma teoria de conjuntos. Esta é uma pressuposição bem forte: dada a teoria dos conjuntos podemos *construir* os naturais, então para que os axiomas? Uma solução é usar lógica de 2a ordem: a própria lógica e linguagem incorporam uma versão fraca do conceito de conjunto. A lógica de 2a ordem tem suas dificuldades. A versão mais autocontida (usando lógica de 1a ordem sem teoria dos conjuntos) seria trocar conjuntos por fórmulas. Assim, o último axioma vira uma família de axiomas (um para cada fórmula). Seja p(n) é uma fórmula com uma variável livre n; temos o axioma: Se p(0) e (para todo n, ( p(n) => p(n+1) ) ) então (para todo n, p(n)) []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================