Se provarmos que k^5 - k é múltiplo de 10,o problema estará acabado.Vejamos:
i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c inteiro tal que k^5-k=c*5.Então k^5-k é múltiplo de 5. ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presença de dois interios consecutivos: k e k+1 ou k e k-1 e k.Dentre eles,um é necessariamente par,o que torna todo o produto múltiplo de 2. Sendo k^5-k múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo,podemos concluir que k^5-k é múltiplo de 10.Acabado o problema. Não sei se podemos simplesmente escrever o que está escrito no item i,se a banca aceitaria.Pensemos outra forma de provar que k^5-k é M5... Bom,todo inteiro pode ser escrito numa das seguintes formas: 5m,5m+1,5m+2,5m+3 e 5m+4,m inteiro.Daí: i)Se k=5m,perfeito. ii)Se k=5m+1,então k-1=5m,perfeito. iii)Se k=5m+2,então k^2+1= 25m^2+20m+5,que é M5,perfeito. iv)Se k=5m+3,entãok^2+1=25m^2+30m+10,que é M5,perfeito. v)Se k=5m+4,então k+1=5m+5,que é M5,perfeito. Essa seria outra forma. Eder ----- Original Message ----- From: rafaelc.l <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] questão IME > > Por favor, me ajudem a resolver a questão > abaixo que caiu no IME. > > > Provar que para qualquer numero inteiro k, > os números k e k^5 terminam sempre com o > mesmo algarismo das unidades. > > > > > > obrigado > > > __________________________________________________________________________ > AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! > Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================